construcción de la sección local lineal independiente en el haz de vectores

Question

Dejemos que $X_1,\ldots,X_k$ sean secciones locales linealmente independientes de un bunlde vectorial $V$ , $rank(V)>k$ definida en algún conjunto abierto $U$ . ¿Puedo construir una sección local $X_{k+1}$ en un subconjunto abierto (quizás más pequeño) de $U$ , de tal manera que $(X_1,\ldots,X_{k+1})$ son linealmente independientes en el subconjunto más pequeño?

edit: Conozco esa respuesta, sin embargo me interesaría un argumento más "elemental".

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}$ Dejemos que $N$ denotan el rango de $E$ y $n$ la dimensión de la base. Trabajando en una vecindad trivializadora para $E$ y la identificación de las secciones locales de $E$ con $\Reals^{N}$ -funciones valoradas sin usar una notación separada, la cuestión se reduce a:

Supongamos que $(\Basis_{i})_{i=1}^{N}$ es la base estándar de $\Reals^{N}$ , $U$ es una vecindad abierta del origen en $\Reals^{n}$ y $(X_{j})_{j=1}^{k}$ son funciones continuas de $U$ en $\Reals^{N}$ tal que:

• $X_{j}(0) = \Basis_{j}$ para $1 \leq j \leq k$ .

• $\bigl(X_{j}(p)\bigr)_{j=1}^{k}$ es un conjunto ortonormal para cada $p$ en $U$ . (Realizar Gram-Schmidt en $\Reals^{N}$ si es necesario).

¿Existe un conjunto abierto $U' \subset U$ y una función continua $X_{k+1}:U' \to \Reals^{N}$ tal que $(X_{j})_{j=1}^{k+1}$ es puntualmente independiente en $U'$ ?

La respuesta es claramente "sí". Consideremos la función constante $X_{k+1} = \Basis_{k+1}$ . La proyección ortogonal de $X_{k+1}$ en el espacio abarcado por $(X_{j})_{j=1}^{k}$ y su magnitud al cuadrado, vienen dados por $$ X_{k+1}' := \sum_{i=1}^{k} \langle X_{k+1}, X_{i}\rangle\, X_{i},\qquad \|X_{k+1}'\|^{2} = \sum_{i=1}^{k} \langle X_{k+1}, X_{i}\rangle^{2}. $$

Mediante álgebra lineal elemental, $(X_{i})_{i=1}^{k+1}$ es linealmente independiente si y sólo si $X_{k+1} \not\in \operatorname{Span}(X_{i})_{i=1}^{k}$ si y sólo si $X_{k+1} \neq X_{k+1}'$ . Pero la magnitud al cuadrado de $X_{k+1}'$ es $0$ en el origen, y es continua como función de valor real en $U$ por lo que existe un conjunto abierto $U'$ que contenga el origen de forma que $\|X_{k+1}'\|^{2} < 1 = \|X_{k+1}\|^{2}$ en $U'$ .