la integral defenida implica la función de bessel

Question

Tengo una integral que involucra la función de Bessel de la siguiente manera:

$I=\int_{r=0}^a \int_{\theta=0}^{2\pi}(e^{-jkr\cos(\theta-\phi)}d\theta)rdr$

He probado con

$e^{-jkr\cos(\theta-\phi)}=\sum \limits_{m=-\infty}^{+\infty}J_m(kr)e^{jm\theta}e^{-jm(\phi+\frac{\pi}{2})}$

Finalmente he dispuesto la integral como

$\sum \limits_{m=-\infty}^{+\infty}[e^{-jm(\phi+\frac{\pi}{2})}(\frac{1}{jm})(e^{j2\pi m}-1)\int_{r=0}^a J_m(kr)rdr]$

Ahora, ¿cómo calcular la última integral?

Answer 1

Al hacer uso de la expansión \begin{align} e^{- i kr \cos(\theta - \phi)} = \sum_{- \infty}^{\infty} i^{m} J_{m}(k r) \ e^{i m (\theta - \phi)} \end{align} se puede ver que esto también es \begin{align} e^{- i kr \cos(\theta - \phi)} = J_{0}(kr) + 2 \sum_{m=1}^{\infty} \cos m(\theta - \phi + \pi/2) \ J_{m}(kr). \end{align} Ahora la integral sobre $\theta$ rinde \begin{align} \int_{0}^{2\pi} e^{- i kr \cos(\theta - \phi)} \ d\theta = 2 \pi J_{0}(k r) + 2 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left[ \sin m(2 \pi - \phi + \pi/2) - \sin m(\pi/2 - \phi) \right] \ J_{m}(kr). \end{align} Desde $\sin m(2 \pi - \phi + \pi/2) - \sin m(\pi/2 - \phi) = 0$ cuando $m$ es un número entero, entonces la expresión de la integral se convierte en \begin{align} \int_{0}^{2\pi} e^{- i kr \cos(\theta - \phi)} \ d\theta = 2 \pi J_{0}(k r). \end{align} Utilizando la relación \begin{align} \int J_{0}(kr) \ r dr = \frac{r}{k} \ J_{1}(kr) \end{align} entonces la segunda integral se convierte en \begin{align} \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} e^{- i kr \cos(\theta - \phi)} \ d\theta \ r dr = \frac{2 \pi a}{k} \ J_{1}(ka). \end{align}