Sobre la convergencia uniforme.

Question

Dejemos que $f$ y $f_1, f_2, \dots, f_n, \dots$ sean funciones continuas sobre $[a, b]$ .
Supongamos que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ para cualquier $x \in [a, b]$ .

Creo que la siguiente proposición es cierta:

Si $\bigcap_{n = 1}^\infty \{x \in [a, b] ; f(x) = \max \{|f(x) - f_n(x)| ; x \in [a, b]\} \} \ne \emptyset$ entonces $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ .

Si $\bigcap_{n = 1}^\infty \{x \in [a, b] ; f(x) = \max \{|f(x) - f_n(x)| ; x \in [a, b]\} \} = \emptyset$ entonces es posible que exista $\{f_n\}$ que no converge uniformemente a $f$ ?

Answer 1

Como la intersección infinita no es vacía, esto significa que existe $\exists x_0 \in [a,b]$ (1), en la que tenemos el máximo para todas las funciones, es decir $\forall n \in \mathbb{N}, \max \{|f(x) - f_n(x)| = |f(x_0) - f_n(x_0)|$ (2). Como secuencia $f_n$ es la convergencia en todos los puntos de $[a,b]$ entonces también converge en $x_0$ es decir $|f(x_0) - f_n(x_0)| \to 0$ (3). Por definición de límite significa, que $\forall \epsilon > 0$ existencia de $N(x_0)$ que para $\forall n > N(x_0)$ tenemos $|f(x_0) - f_n(x_0)| < \epsilon$ . A partir de nuestra propiedad, esta estimación es válida para todos los $[a,b]$ , lo que nos da una convergencia uniforme.