Encontrar el valor de un segmento del triángulo isósceles

Question

$M$ y $N$ son puntos de lados iguales $CA$ y $CB$ del triángulo isósceles $ABC$ como lo que $CM = CN$ . Determinar el segmento $CM$ sabiendo que $AB = 2k$ y que $2P$ y $2p$ son los perímetros respectivamente del triángulo $ABC$ y el trapecio AMNB.

Respuesta: $\Large CM = \frac{(P-k)(P-p)}{P-2k}$

Answer 1

Dado el isósceles $\triangle ABC$ , \begin{align} AB+BC+AC&=2P, \tag{1}\label{1}\\ AB+BN+MN+AM&=2p. \tag{2}\label{2} \end{align} Sustracción $\eqref{1}-\eqref{2}$ da \begin{align} 2x-y&=2P-2p. \tag{3}\label{3} \end{align} $\triangle MNC\propto\triangle ABC$ Por lo tanto \begin{align} \frac{y}{2k}&= \frac{x}{AC}=\frac{x}{BC},\\ \frac{y}{2k}&= \frac{y+x+x}{2k+AC+BC} =\frac{y+2x}{2P},\\ y&=\frac{2x k}{P-k}. \tag{4}\label{4} \end{align} Por último, una combinación de $\eqref{3}$ y $\eqref{4}$ da el resultado \begin{align} x&= \frac{(P-p)(P-k)}{P-2k}. \end{align}