Una pequeña parte confusa en la definición del problema de valor inicial

Question

Supongamos que $U\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{n+1}$ , $U$ está abierto y $(t_0, \bf{x}$$ 0)\Nen U $. Assume $ {\bf f} (= {\bf f}(t,{\bf x})) : U \ a \mathbb{R}$ es continuo . Entonces lo siguiente se llama un problema de valor inicial con condición inicial :

\begin{align*} \frac{d\bf{x}}{dt} &= {\bf f}(t, {\bf x}),\\ {\bf x}(t_0) &= {\bf x}_0. \end{align*}

Mi duda es $\bf{x}$ es un vector, por lo que $\frac{d\bf{x}}{dt} \in \mathbb{R}^{n}$ pero ${\bf f}(t, {\bf x}) \in \mathbb{R}$ . ¿Estoy en lo cierto? Entonces, ¿cómo pueden ser iguales?

Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Siento decir que no lo has copiado bien. Debe ser ${\bf f}\colon U\to\mathbb R^n$ precisamente por lo que dices.

Answer 2

No tiene sentido. Creo que se trata de un error tipográfico; debería ser ${\bf f} : U \to \mathbb{R}^n$ . Una de las razones para creer que este es el caso es que el nombre de la función está escrito en negrita, lo que suele estar reservado para las funciones de valor vectorial.