Demostración de un posible corolario del teorema de convergencia monótona

Question

Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones medibles no negativas sobre $E$ que converge puntualmente en $E$ a $f$ . Supongamos que $f_n \leq f$ para cada $n$ . Demuestra que:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_E f_n = \int_E f.$$

Así que ya he demostrado el teorema de convergencia monótona, cuya suposición es la misma que la que estoy tratando de demostrar, excepto que en el teorema de convergencia monótona la secuencia de funciones es creciente. Me parece que debe haber algún truco inteligente para utilizar el teorema de convergencia para demostrar esto... He estado pensando en ello durante un tiempo, pero me temo que estoy atascado en la visión de túnel. ¡Se agradece la información! Gracias.

Answer 1

Si se le permite utilizar el lema de Fatou $^{(1)}$ entonces $$\int f = \int \liminf f_n \leq \liminf \int f_n \leq \int f,$$ donde la desigualdad del medio es el lema de Fatou. Esto implica que $\liminf \int f_n=\int f$ . Es evidente que $\limsup \int f_n \leq \int f$ . Desde el $\limsup$ es mayor que el $\liminf$ también es igual a $\int f$ y se deduce que $\lim \int f_n=\int f.$

$^{(1)}$ Utilizar el lema de Fatou no es un gran problema, ya que no es más que el teorema de convergencia monótona aplicado a $g_i:=\inf\{f_i,f_{i+1},\cdots\}$ .