¿Cómo se demuestra que la serie converge de forma casi segura?

Question

Dejemos que $X_1, X_2, \ldots:\Omega\to \mathbb R$ sean variables aleatorias. Definir $C:=\{ \omega \ | \ \sum X_n(\omega) \text{ converges} \}$ . Hay tal $q\in(0,1)$ que para todos $n\in \mathbb N: P\{ |X_n| \geq q^n\}\leq q^n$ . Demostrar que $P(C)=1$ .

Mi intento:

Definir $E_n:=\{ |X_n| \geq q^n\}$ . Aplicar Borel-Cantelli: $P(\limsup E_n)=0$ . A continuación, esperaba mostrar que $\Omega\setminus C \subset \limsup E_n$ (si eso funciona, hemos terminado).

Dejemos que $\omega\in \Omega\setminus C$ Por lo tanto $$\exists \varepsilon>0 \ \ \forall m \in \mathbb N \ \ \exists n \geq m \ \ (| X_1(\omega)+\ldots+X_n(\omega) |\geq \varepsilon)$$ y queremos demostrar que $\omega \in\limsup E_n$ $$\forall m\in \mathbb N \ \ \exists n\geq m \ \ (|X_n(\omega)|\geq q^n)$$

Dejemos que $m \in \mathbb N$ , elija $\varepsilon=q^m$ , entonces para todos los $n \geq m$ :

$$| X_1(\omega)|+\ldots+|X_n(\omega)|\geq| X_1(\omega)+\ldots+X_n(\omega) |\geq q^m \geq q^n$$

Parece que estamos cerca pero no puedo terminar la discusión. Se agradece enormemente cualquier pista.

Answer 1

Probablemente sea más sencillo demostrar que el complemento de $\limsup_{n\to+\infty}E_n$ está contenida en $C$ .

De hecho, si $\omega$ no está en $\limsup_{n\to+\infty}E_n$ , entonces hay $N=N(\omega)$ tal que para $n\geqslant N$ , $\omega\notin E_n$ . Por lo tanto, tenemos $|X_n(\omega)|\leqslant q^n$ para estos $n$ lo que demuestra la convergencia de la serie $\sum_{n\geqslant 1}|X_n(\omega)|$ .