Como usted escribió $$f(x)=\frac{x^4-3 x^3-11 x^2+3 x+10}{3-x^2}$$ $$f'(x)= \frac{-2x^5+3x^4+12x^3-24x^2-46x+9}{\left(3-x^2\right)^2}$$ Si queremos evitar los cálculos puramente numéricos, pensemos en las aproximaciones.
En primer lugar, observe que tenemos $$f(-1)=0 \qquad \text{and} \qquad f'(-1)=+6$$ $$f(1)=0 \qquad \text{and} \qquad f'(1)=-12$$ Con tal conformación, hay un máximo que no está en ningún límite.
Por otro lado $$f(0)=\frac{10}{3}\qquad \text{and} \qquad f'(0)=1$$ Teniendo en cuenta lo mucho que cambió la primera derivada, su cero no debe estar muy lejos de $x=0$ .
Así, expandiendo la derivada alrededor de $x=0$ como una serie de Taylor, tenemos $$f'(x)=1-\frac{46 }{9}x-2 x^2+O\left(x^3\right)$$ Su solución más cercana a cero es $$x_*=\frac{\sqrt{691}-23}{18} \sim 0.182604$$ Comprobación de $$f'(x_*)=\frac{7763038-296231 \sqrt{691}}{1698939}\sim -0.0140973$$ Por lo tanto, considere que $x_*$ es casi el punto máximo $$f(x_*)=\frac{4714 \sqrt{691}-51209}{21222} \sim \color{blue}{3.42604} $$
Esto no parece tan malo ya que un trabajo numérico completo daría un valor máximo de $\color{red}{3.42605}$ (!!!) en $x=0.180284$ .
Editar
Por diversión, añadiendo un término más a la serie de Taylor $$f'(x)=1-\frac{46 }{9}x-2 x^2-\frac{56 }{27}x^3+O\left(x^4\right)$$ La cúbica sólo muestra una raíz real. Utilizando el método hiperbólico, viene dada por $$x_*=\frac{1}{28} \left(2 \sqrt{563} \sinh \left(\frac{1}{3} \sinh ^{-1}\left(\frac{13257}{563 \sqrt{563}}\right)\right)-9\right)\sim 0.180514$$ que es mucho mejor.
Ahora, la informática $f(x_*)=\color{red}{3.426052}70$ mientras que el valor exacto es $\color{red}{3.42605286}$ .
