Motivación para el uso de la entropía de Tsallis

Question

De vez en cuando oigo algo sobre Entropía de Tsallis , $$S_q(\{p_i\}) = \frac{1}{q-1}\left( 1- \sum_i p_i^q \right), \tag{1}$$ y decidí finalmente investigarlo. No he profundizado mucho en la literatura (sólo he hojeado ligeramente la Wikipedia y algunos textos introductorios), pero estoy completamente confundido sobre la motivación de su uso en la física estadística.

Como medida similar a la entropía aplicada a las distribuciones de probabilidad, la entropía de Tsallis tiene la propiedad de que, para dos independiente variables aleatorias $A$ y $B$ , $$S_q(A, B) = S_q(A) + S_q(B) + (1-q)S_q(A)S_q(B).\tag{2}$$ En el límite como $q$ tiende a $1$ la entropía de Tsallis se convierte en la entropía habitual de Gibbs-Shannon $H$ y recuperamos la relación $$H(A,B) = H(A) + H(B)\tag{3}$$ para los independientes $A$ y $B$ .

Como propiedad matemática está perfectamente bien, pero la motivación para su uso en física parece completamente extraña, a no ser que la haya malinterpretado fundamentalmente. Por lo que he leído, el argumento parece es que para los sistemas que interactúan fuertemente, como los ligados a la gravedad, ya no podemos suponer que la entropía es extensiva (hasta aquí es justo) y por tanto necesitamos una medida de entropía que se comporte de forma no extensiva para independiente subsistemas, como en la ecuación $2$ anterior, para un valor adecuado de $q$ .

La razón por la que esto parece extraño es la suposición de independencia de los dos subsistemas. Seguramente la misma razón por la que no podemos suponer que la entropía es extensa es que los subsistemas están fuertemente acoplados, y por tanto no independiente.

La mecánica estadística habitual de Boltzmann-Gibbs parece estar bien equipada para hacer frente a esta situación. Consideremos un sistema compuesto por dos subsistemas, $A$ y $B$ . Si el subsistema $A$ está en el estado $i$ y $B$ está en el estado $j$ y que la energía del sistema venga dada por $E_{ij} = E^{(A)}_i + E^{(B)}_j + E^{(\text{interaction})}_{ij}$ . Para un conjunto canónico tenemos entonces $$p_{ij} = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_{ij}} = \frac{1}{Z} e^{-\beta \left(E^{(A)}_i + E^{(B)}_j + E^{(\text{interaction})}_{ij}\right)}.$$ Si los valores de $E^{(\text{interaction})}_{ij}$ son pequeños en comparación con los de $E^{(A)}_i$ y $E^{(B)}_j$ entonces esto se factoriza aproximadamente en $p_{ij} = p_ip_j$ con $p_i$ y $p_j$ también están dadas por las distribuciones de Boltzmann, calculadas para $A$ y $B$ de forma independiente. Sin embargo, si $E^{(\text{interaction})}_{ij}$ es grande, entonces no podemos factorizar $p_{ij}$ y ya no podemos considerar la distribución conjunta como el producto de dos distribuciones independientes.

Cualquiera que esté familiarizado con la teoría de la información sabrá que la ecuación $3$ no es válida para variables aleatorias no independientes. La relación más general es $$H(A,B) = H(A) + H(B) - I(A;B),$$ donde $I(A;B)$ es la información mutua, una medida simétrica de la correlación entre dos variables, que siempre es no negativa y sólo se hace cero cuando $A$ y $B$ son independientes. La entropía termodinámica de un sistema físico no es más que la entropía de Gibbs-Shannon de un conjunto de Gibbs, por lo que si $A$ y $B$ se interpretan como subsistemas que interactúan fuertemente, entonces la mecánica estadística habitual de Boltzmann-Gibbs ya nos dice que la entropía no es extensiva, y la información mutua obtiene una interpretación física como el grado de no extensividad de la entropía termodinámica.

Esto parece no dejar lugar a modificaciones especiales "no extensivas" de la fórmula de entropía como la ecuación $1$ . La entropía de Tsallis es no extensiva para subsistemas independientes, pero parece que los casos en los que necesitamos una entropía no extensiva son exactamente los casos en los que los subsistemas no son independientes, y por tanto la entropía de Gibbs-Shannon ya es no extensiva.

Después de esta larga explicación, mis preguntas son: (i) ¿Es correcta la caracterización anterior de la motivación de la entropía de Tsallis, o existen casos en los que las partes de un sistema pueden ser estadísticamente independientes y aun así necesitamos una entropía no extensiva? (ii) ¿Cuál es el consenso actual sobre la validez de los enfoques de la mecánica estadística basados en la entropía de Tsallis? Sé que ha sido objeto de debate en el pasado, pero la Wikipedia parece dar a entender que esto ya está resuelto y que la idea es ahora ampliamente aceptada. Me gustaría saber hasta qué punto esto es cierto. Por último, (iii) ¿se puede encontrar en la literatura el argumento que he esbozado anteriormente? He echado un vistazo rápido a algunas opiniones discrepantes sobre la entropía de Tsallis, pero sorprendentemente no he visto inmediatamente el punto sobre la información mutua y la no extensividad de la entropía de Gibbs-Shannon.

_{(Soy consciente de que también hay una justificación más pragmática para utilizar la entropía de Tsallis, que es que maximizarla tiende a conducir a distribuciones de tipo ley de potencia de "cola larga". Para esta pregunta me interesa menos esa justificación. Además, soy consciente de que ya hay algunas preguntas similares en el sitio <a href="https://physics.stackexchange.com/questions/16804/motivation-for-maximum-renyi-tsallis-entropy?rq=1">[1 </a>, <a href="https://physics.stackexchange.com/questions/19133/renyi-entropy-in-physical-systems?rq=1">2] </a>pero estos no cubren el argumento de la no-extensividad que me preocupa aquí las respuestas sólo tratan de la entropía de Rényi).}

Answer 1

(i) ¿Es correcta la caracterización anterior de la motivación de la entropía de Tsallis, o existen casos en los que las partes de un sistema pueden ser estadísticamente independientes y aun así necesitamos una entropía no extensiva?

El único ejemplo que se me ocurre que se ajusta a esta descripción es un plasma (bueno, al menos débilmente colisional), como el viento solar .

En escalas mayores que la Longitud de Debye El sistema se comporta de forma colectiva, pero la naturaleza sin colisiones del gas le impide alcanzar el equilibrio. Además, aunque los campos electromagnéticos producen interacciones de largo alcance, las "partes" del sistema (por ejemplo, las esferas de Debye) pueden seguir siendo estadísticamente independientes. Esto permite que un plasma sin colisiones se comporte según una no extensivo teoría cinética.

(ii) ¿Cuál es el consenso actual sobre la validez de los enfoques de la mecánica estadística basados en la entropía de Tsallis? Sé que ha sido objeto de debate en el pasado, pero la Wikipedia parece dar a entender que esto ya está resuelto y que la idea es ahora ampliamente aceptada. Me gustaría saber hasta qué punto esto es cierto.

Creo que la validez de Entropía de Tsallis es generalmente aceptado, al menos en la física del plasma espacial [por ejemplo, véase Livadiotis , 2015 ]. El apoyo a una teoría no Maxwell-Boltzmann surgió debido a la continua observación de las distribuciones de velocidad (p. ej, Maxwellian ) que tenían colas de ley de potencia y la falta de observaciones de Maxwellians. Los primeros intentos de modelar estas distribuciones incluían superposiciones de distribuciones lorentzianas modificadas (por ejemplo, similares a Distribuciones de Cauchy ) con los maxwelianos [por ejemplo Feldman et al. , 1983 ; Thomsen et al. , 1983 ]. Estudios posteriores [p. ej, Maksimovic et al. , 1997 ] resucitó una antigua forma llamada distribución kappa que originalmente fue derivado por Vasyliunas [1968] . Al final, Leubner [2002] mostró la conexión entre la distribución kappa y la Distribución de tsallis cuando $\kappa = -1/\left( q - 1 \right)$ , donde $q$ es el parámetro entrópico de Estadísticas de Tsallis (Nótese que la distribución kappa es un miembro de las distribuciones lorentzianas modificadas).

Más recientemente, una gran cantidad de trabajo ha comenzado a solidificar la relación entre las distribuciones kappa y la estadística Tsallis y la termodinámica fundamental. En los últimos años se han publicado muchos trabajos sobre este tema que intentan fusionar la mecánica estadística más tradicional con la mecánica estadística no extensiva [p. ej, Livadiotis , 2015 ; Treumann y Baumjohann , 2014 , 2016 ].

Aunque algunos miembros de la comunidad todavía tienen algunas dudas, el hecho de que casi todas las distribuciones de velocidad de las partículas observadas hasta la fecha en los plasmas espaciales sin colisiones puedan modelarse mediante distribuciones kappa con mayor precisión que las maxwellianas es un fuerte apoyo para la estadística de Tsallis.

Finalmente, (iii) ¿se puede encontrar en la literatura el argumento que he esbozado anteriormente? He echado un vistazo rápido a algunas opiniones discrepantes sobre la entropía de Tsallis, pero sorprendentemente no he visto inmediatamente el punto sobre la información mutua y la no extensividad de la entropía de Gibbs-Shannon.

Las interacciones de largo alcance y la naturaleza sin colisiones de algunos plasmas hacen que estos sistemas estén continuamente en un estado de no equilibrio. Este tipo de sistemas requiere un formalismo no extensivo, ya que Leubner [2002] afirma:

Cualquier formalismo extensivo falla cuando un sistema físico incluye fuerzas de largo alcance o memoria de largo alcance. En particular, esta situación suele darse en entornos astrofísicos y en la física del plasma donde, por ejemplo, el rango de interacciones es comparable al tamaño del sistema considerado. Se requiere que una entropía generalizada posea las propiedades habituales de positividad, equiprobabilidad, concavidad e irreversibilidad, pero extendiendo adecuadamente la aditividad estándar a la no extensividad...

Referencias

• Feldman, W.C., y otros. "Distribuciones de la velocidad de los electrones cerca del choque de proa de la Tierra". Revista de Investigación Geofísica 88 (A1), pp. 96--110, doi:10.1029/JA088iA01p00096, 1983.
• Leubner, M.P. "A Nonextensive Entropy Approach to Kappa-Distributions," Astrofísica y Ciencias del Espacio 282 (3), pp. 573--579, doi:10.1023/A:1020990413487, 2002.
• Livadiotis, G. "Introducción a la sección especial sobre Orígenes y propiedades de las distribuciones Kappa: Antecedentes estadísticos y propiedades de las distribuciones Kappa en los plasmas espaciales," Journal of Geophysical Research: Space Physics 120 (3), pp. 1607--1619, doi:10.1002/2014JA020825, 2015.
• Maksimovic, M., y otros. "Distribuciones de electrones de Ulysses ajustadas con funciones Kappa". Cartas de Investigación Geofísica 24 (9), pp. 1151--1154, doi:10.1029/97GL00992, 1997.
• Thomsen, M.F., y otros. "Estabilidad de las distribuciones de electrones en el arco de choque de la Tierra". Revista de Investigación Geofísica 88 (A4), pp. 3035--3045, doi:10.1029/JA088iA04p03035, 1983.
• Treumann, R.A. y W. Baumjohann "Beyond Gibbs-Boltzmann-Shannon: general entropies-the Gibbs-Lorentzian example," Fronteras de la Física 2 (49), pp. 1--5, doi:10.3389/fphy.2014.00049, 2014.
• Treumann, R.A. y W. Baumjohann "Generalised partition functions: inferences on phase space distributions," Anales Geofísicos 34 (6), pp. 557--564, doi:10.5194/angeo-34-557-2016, 2016.
• Vasyliunas, V.M. "Un estudio de los electrones de baja energía en el sector vespertino de la magnetosfera con OGO 1 y OGO 3". Revista de Investigación Geofísica 73 (9), pp. 2839--2884, doi:10.1029/JA073i009p02839, 1968.

Answer 2

No creo que puedas utilizar tu expresión de la mecánica estadística habitual de Boltzmann-Gibbs parece cuando tu sistema es autogravitatorio, como una estrella, a menos que utilices un número infinito de interacciones en lugar de sólo dos. En ese caso hay que utilizar la expresión continua. Y los resultados que encontraron en los polítropos estelares es muy interesante . ¡Recuerdo que hace unos años se hizo lobby a favor de Tsallis para el premio Nobel! (Creo que fue demasiado, pero es sólo una anécdota)