Creo que es cierto mientras no exista un operador unitario no trivial $U$ que conmuta con el Hamiltoniano ( $[H,U] = 0$ ) en el subespacio de los estados básicos. Si existe un operador de este tipo, entonces para un estado terreno $|\phi_0\rangle$ con energía $E_0$ tenemos $$HU|\phi_0\rangle = UH|\phi_0\rangle = E_0\left(U|\phi_0\rangle\right)$$ y así $U|\phi_0\rangle$ también tiene la menor energía posible $E_0$ y, por tanto, también es un estado de reposo. Nótese que el enunciado de no trivialidad de $U$ es importante. Tiene que ser no trivial en el subespacio de los estados básicos, es decir $U|\phi_0\rangle \neq e^{i\theta}|\phi_0\rangle$ para cualquier fase $\theta$ , de lo contrario no hay degeneración. (La unitaridad es necesaria para que $U|\phi_0\rangle$ es un estado con norma 1)
Más sucintamente, si existe un operador unitario $U$ tal que $[H,U]=0$ y $U|\phi_0\rangle\neq e^{i\theta}|\phi_0\rangle$ para cualquier fase $\theta$ entonces tenemos una degeneración en el estado básico.
En el ejemplo que has puesto vemos que el elementos de la matriz en la base dada $\{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle\}$ es $$H = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$$ de donde vemos que existe un operador unitario, con elementos de la matriz $$U = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ que conmuta con $H$ y no es trivial en el espacio de estado básico.
Prueba de que la inexistencia de $U$ implica un estado básico no degenerado:
Supongamos que $\nexists U$ s.t. $\{[H,U]=0 \mbox{and} U|\phi_0\rangle \neq e^{i\theta}|\phi_0\rangle\}$
Ahora, para cada estado $|a\rangle$ y $|b\rangle$ , $\exists U_{ab}$ que es unitario que nos lleva de $|a\rangle\rightarrow|b\rangle$ . Nos interesa el operador que nos lleva de $|\phi_0\rangle$ a cualquier $|a\rangle$ en nuestro espacio de Hilbert (que obviamente incluye todos los posibles estados básicos), que denotamos por $U_{a0}$ . Esto significa que cualquier estado $|a\rangle$ puede escribirse como $|a\rangle = U_{a0}|\phi_0\rangle$ . Por nuestra suposición de partida $U_{a0}$ o bien satisface $$(1)~~ [H,U_{a0}]\neq 0,~~\mbox{or}~~(2)~U_{a0}|\phi_0\rangle = e^{i\theta}|\phi_0\rangle$$ Si (1), entonces tenemos $$H|a\rangle = H U_{a0}|\phi_0\rangle \neq U_{a0}H|\phi_0\rangle = E_0|a\rangle~\implies~H|a\rangle \neq E_0|a\rangle$$ y así $|a\rangle \neq |\phi_0\rangle$ no es un estado de tierra.
Si (2), entonces $|a\rangle = e^{i\theta}|\phi_0\rangle$ y así $|a\rangle$ y $|\phi_0\rangle$ representan el mismo estado.
Así, la inexistencia de $U$ implica la inexistencia de un segundo estado básico y, por tanto, la no-degeneración.
