Esta pregunta está relacionada con otra similar formulada por otra persona aquí
Estoy tratando de demostrar que si $d$ es una métrica, y $\delta(x,y) = \min(d(x,y), 1)$ también es una métrica, que $d$ y $\delta$ generar la misma topología.
Estoy atascado en la parte de mostrar que $\mathbf{B_{\delta}(x,r)\subseteq B_{d}(x,r)}$ , donde $B_{\delta}$ es una bola abierta en el $\delta$ -métrico y $B_{d}$ es un centro comercial abierto en el $d$ -métrico.
Hasta ahora, esto es lo que he hecho:
Dejemos que $y \in B_{\delta}(x,r)$ . Entonces, $\delta (x,y) < r$ . Desde $\delta (x,y) = \min(d(x,y),1)$ , si $\delta(x,y) = d(x,y)$ entonces $\delta(x,y) = d(x,y) < r$ lo que implica que $y \in B_{d}(x,r) \implies B_{\delta}(x,r) \subseteq B_{d}(x,r)$ en este caso.
Por otro lado, si $\delta(x,y) = \min(d(x,y),1) = 1$ entonces $\delta(x,y) = 1 < d(x,y)$ , pero esto es exactamente lo contrario de lo que quiero aquí . Para conseguir $B_{\delta}(x,r) \subseteq B_{d}(x,r)$ , como que necesito $d(x,y) < \delta(x,y)$ ¿No es así? Pero aquí no lo consigo.
¿Puede alguien ayudarme? Y también, ¿está dispuesto a responder a las preguntas de seguimiento que tengo? Porque si sólo me dan una pista, no tengo duda de que tendré que hacerles muchas preguntas de seguimiento. Gracias de antemano.
