Dejemos que $G$ sea un grupo topológico metrizable y $K$ un subgrupo normal de $G.$ Consideremos el espacio homogéneo $G/K$ y asumir que ambos $K$ y $G/K$ son completa . Necesito probar $G$ está completo.
Más concretamente, supongamos que existe una métrica invariante a la derecha en $G$ tal que la restricción de dicha métrica a $K$ hace $K$ completo (por lo tanto, cerrado en $G$ ) y la métrica $\dot d(\dot x, \dot y) = d(xK, yK)$ en el espacio homogéneo $G/K$ lo convierte en un espacio topológico completo. Cómo demostrar $G$ ¿también está completo?
No estoy seguro de lo que no entiendo, he visto algunos posts aquí y en otros lugares mencionando este resultado (pero nunca demostrándolo) y los pocos libros que he leído sobre grupos topológicos siempre lo dan como ejercicio. Ahora, mi intento hasta ahora es el siguiente.
Consideremos una secuencia fundamental $(x_n)$ en $G,$ desde $K$ contiene el elemento neutro, $\dot d(\dot x, \dot y) \leq d(x, y)$ y así la proyección envía $x_n$ a $\dot x_n$ que es fundamental en el espacio homoegéneo, haciéndolo converger a algún elemento $\dot x.$ Ahora bien, si $x$ pertenece a $\dot x,$ se puede demostrar que $x_n x x_n^{-1}$ converge (posiblemente a través de una subsecuencia en $K$ ). Aquí es donde estoy atascado, si $x_n x x_n^{-1} \to k,$ cómo concluir $k = fxf^{-1}$ para un adecuado $f$ ? Se agradece cualquier ayuda.
