Una vez me encontré con esta pregunta de Ahlfors' Análisis Complejo.
Una analítica de la función $f$ tiene la propiedad de que para $|z|<1$, $|f(z)|\leq \frac{1}{1-|z|}$. Encontrar la mejor estimación de $|f^{(n)}(0)|$ que Cauchy de la fórmula de rendimiento.
Lo resuelto por la búsqueda de una estimación a través de la integral de Cauchy fórmula encima de un círculo de general de radio y, a continuación, optimizado el resultado por su diferenciación con respecto a la radio. Más tarde me pregunté, ¿por qué deberíamos esperar que la ruta óptima para ser un círculo? He aplicado el de Euler-Lagrange las Ecuaciones para este problema y tengo una completamente untractable O. D. E. espero que un círculo es la ruta más óptima, pero hay una razón concreta de por qué?
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Aquí está mi solicitud de Euler-Lagrange las ecuaciones:
Supongamos que queremos integrar en un camino de $\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ $0\leq t\leq 1$ con la estipulación de la $\gamma(0)=\gamma(1)$$0<r(t)<1$. Esto nos deja con $|f(z)|<\frac{1}{1-r(t)}$, e $|dz|=|r'(t)+ir(t)\theta'(t)|dt.$, Entonces el problema es de minimizar $$|f^{(n)}(0)|\leq\frac{n!}{2\pi}\int_0^1\frac{1}{r^{n+1}(t)(1-r(t))}|r'(t)+ir\theta'(t)|dt.$$
Es suficiente que nos optimizar el integrando. Deje que el integrando sea por escrito
$$F(r,\theta,r',\theta')=\frac{\sqrt{r'(t)^2+r(t)^2\theta'(t)^2}}{r^{n+1}(t)(1-r(t))}.$$
Me basta con aplicar el variacional derivados: $$\frac{\partial F}{\partial r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial r'}=0,$$ $$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \theta'}=0.$$
Tanto como yo odio a estropear la alegría de la elaboración de las ecuaciones diferenciales en su propio, he calculado que se forma:
$$\frac{r(t)^{-n} \theta '(t) \left(r(t) \theta '(t) \left(r(t) \left(r''(t)-n \theta '(t)^2\right)+(n+1) r(t)^2 \theta '(t)^2-r''(t)\right)+(n r(t)-n+1) r'(t)^2 \theta '(t)-(r(t)-1) r(t) r'(t) \theta ''(t)\right)}{(r(t)-1)^2 \left(r'(t)^2+r(t)^2 \theta '(t)^2\right)^{3/2}}=0,$$ $$-\frac{r(t)^{-n} r'(t) \left(r(t) \theta '(t) \left(r(t) \left(r''(t)-n \theta '(t)^2\right)+(n+1) r(t)^2 \theta '(t)^2-r''(t)\right)+(n r(t)-n+1) r'(t)^2 \theta '(t)-(r(t)-1) r(t) r'(t) \theta ''(t)\right)}{(r(t)-1)^2 \left(r'(t)^2+r(t)^2 \theta '(t)^2\right)^{3/2}}=0$$
No es demasiado difícil ver que estos se reducen a ecuaciones resuelto por el resultado para el círculo suponiendo que $r'(t)=0$$\theta'(t)=\text{const}$. Así, el círculo al principio me encontrado es un punto fijo, pero puede no ser único. Estoy bloqueado en la perspectiva de encontrar otras soluciones.
