¿En qué sentido el modelo de Ising es un ejemplo de modelo reticular según Kontsevich?

Question

En la sección 3.2 del interesantísimo documento de Kontsevich "Notas sobre los motivos en la característica finita". da una definición axiomática de un "modelo reticular" unido a un dato de Boltzmann $(V_1,V_2,R)$ , donde $V_1$ y $V_2$ son espacios vectoriales y $R$ es un endomorfismo lineal de $V_1$ tensor $V_2$ . Señala que el modelo Ising bidimensional es un ejemplo. ¿Puede alguien explicarme qué $V_1$ , $V_2$ y $R$ son para el modelo Ising bidimensional?

Answer 1

En esta sección, Kontsevich está describiendo un modelo de contracción de índices de un determinado tensor que reproduce una suma de mecánica estadística sobre configuraciones. Para su modelo, se tiene en cada vértice, que etiquetaré con el número entero $k$ una copia del mismo tensor de cuatro índices

$$R_{a\mu}^{b\nu}$$

donde $a$ y $b$ son índices para un espacio vectorial de dimensión $d_1$ , $\mu$ y $\nu$ son para otro espacio vectorial de dimensión $d_2$ . Las dimensiones del espacio vectorial van a ser el número de estados discretos en cada sitio.

Tienes dos direcciones diferentes, él las llama 1 y 2, pero yo las llamaré "arriba" e "izquierda". La imagen en tu cabeza debe ser una cuadrícula cuadrada finita, y en cada punto hay dos flechas entrantes, una que va hacia arriba y otra hacia la izquierda, y dos flechas salientes que van hacia arriba y hacia la izquierda.

Multiplica juntos todos los $R$ en todos los vértices, y contrae el $a$ -índice de cada sitio con el $b$ -del sitio que está "a la izquierda" del mismo, y el $\mu$ índice de cada sitio con el $\nu$ índice del sitio que está "arriba" de él. Esto contrae todos los índices en ciclos cerrados, dando un número complejo.

En el espíritu de la máxima generalización, define la construcción en el grafo más general que lo permite: el grafo necesita flechas hacia arriba y flechas hacia abajo, y las flechas hacia arriba hacen ciclos orientados cerrados, y las flechas hacia la izquierda hacen ciclos orientados cerrados. Generalizando al máximo en otra dirección, señala que la misma definición funciona para cualquier objeto con un producto tensorial y una noción de contracción, es decir, para las categorías tensoriales.

Deslizando los vértices a lo largo de los dos tipos de flechas, se obtienen dos "flujos" independientes que conservan el número en un grafo finito, por lo que las trayectorias de los flujos son ciclos, y en cada ciclo, el flujo es una permutación cíclica de los vértices. Para el modelo de Ising en un cuadrado $N$ -por- $M$ rejilla con fronteras periódicas, uno de los dos flujos mueve todos los vértices a la izquierda una unidad, y el otro mueve todos los sitios una unidad hacia arriba, y estas operaciones conmutan, y le gusta esta condición, por lo que la enfatiza.

La función de partición con este patrón de contracción es entonces

$$Z = \sum_{a_k,\mu_k} \prod_k R_{a_k\mu_k}^{a_{l(k)}\mu_{u(k)}}$$

donde $l(k)$ es el vecino izquierdo de $k$ y $u(k)$ es el vecino superior de $k$ . Es decir, $Z$ es una suma sobre todas las configuraciones posibles de valores de los índices $a_k, \mu_k$ en los vértices del gráfico, del producto de una cierta cantidad que depende del valor de los índices en el sitio y el vecino derecho y superior. En términos del logaritmo de $R$ ,

$$R_{a\mu}^{b\nu} = \exp(-E(a,\mu;b,\nu)),$$

donde $E$ es la función de energía, entonces

$$Z = \sum_{a_k,\mu_k} \exp(-\sum_k E(a_k,\mu_k;a_{l(k)},\mu_{u(k)}))$$

donde la gran suma exterior es sobre todas las posibles asignaciones de índices $a_k$ y $\mu_k$ a cada uno de los vértices, y $l(k)$ es el mapa de la izquierda que toma el número de vértices $k$ al número del vecino de la izquierda, mientras que $u(k)$ es el mapa ascendente, tomando $k$ al vecino de arriba.

Para reproducir el modelo de Ising, dejemos $a_k$ y $\mu_k$ toman los dos valores de "spin" 0 o 1 (es decir, los dos espacios vectoriales $V_1$ y $V_2$ son ambos bidimensionales). Entonces quieres asegurarte de que obtienes una contribución nula a menos que el valor del índice $a_k$ es igual a $\mu_k$ . Para ello, haz que la función de energía $E(a,\mu;b,\nu)$ infinito a menos que $a=\mu$ (es decir, hacer la correspondiente $R$ elemento cero). Entonces la gran suma en el exterior colapsa a una suma sobre $a_k$ . Los siguientes valores de $E$ son los finitos:

• $E(00;00) = E(11;11) = 0$ (el vecino de arriba y el de la izquierda son el mismo)
• $E(00;01) = E(11;10) = J$ (el vecino de arriba es diferente)
• $E(00;10) = E(11;01) = J$ (el vecino de la izquierda es diferente)
• $E(00;11) = E(11;00) = 2J$ (ambos vecinos son diferentes)

La parte no nula $R$ Los elementos del tensor son los exponenciales de éstos. El acoplamiento $J$ es el coste de energía extra estándar para los espines vecinos no coincidentes.

Reconstruir lo que está haciendo puede ser un poco difícil porque dice "corresponder" de manera vaga en la parte superior de la página 22, y "una identificación" en la parte inferior de la página 21 sin especificar la correspondencia o la identificación. Por eso he entrado en detalles.

Answer 2

Para el modelo 2d-Ising $V_1=V_2$ es un $2$ -espacio vectorial de dimensiones. La fórmula para $R$ puede encontrarse en el libro de Baxter "Exactly Solved Models in Statistical mechanics" (capítulo 7 si recuerdo bien).

La cuestión es que el modelo Ising de red de vecinos más cercanos no es un modelo de vértices... pero para una red cuadrada en 2d sí lo es: hay que considerar la red dual.

EDITAR: este documento de Baxter podría ayudarte.