Demostrar que la ecuación $x^2+y^2+z^2=2015$ no tiene soluciones enteras.

Question

Demostrar que la ecuación $x^2+y^2+z^2=2015$ no tiene soluciones enteras.

Desde $2015=251 \cdot 8 +7$ se deduce del teorema de los tres cuadrados de Legendre.

¿Hay una forma directa más elemental de demostrarlo?

Answer 1

Módulo de trabajo $8$ es un poco más sencillo. Las únicas casillas que hay son $1,4$ y $0$ y no puedes llegar a $7$ sumando tres de ellos.

Esta es probablemente la misma forma en que se demostraría el teorema de los tres cuadrados, excepto que sólo lo hacemos en una dirección (no demostramos que $2014$ es posible escribir como la suma de tres cuadrados).

Answer 2

Si $k$ es un cuadrado perfecto, entonces $k\equiv0,1,4\pmod8$ :

• $n\equiv0\pmod8 \implies n^2\equiv0^2\equiv0\pmod8$
• $n\equiv1\pmod8 \implies n^2\equiv1^2\equiv1\pmod8$
• $n\equiv2\pmod8 \implies n^2\equiv2^2\equiv4\pmod8$
• $n\equiv3\pmod8 \implies n^2\equiv3^2\equiv1\pmod8$
• $n\equiv4\pmod8 \implies n^2\equiv4^2\equiv0\pmod8$
• $n\equiv5\pmod8 \implies n^2\equiv5^2\equiv1\pmod8$
• $n\equiv6\pmod8 \implies n^2\equiv6^2\equiv4\pmod8$
• $n\equiv7\pmod8 \implies n^2\equiv7^2\equiv1\pmod8$

No $3$ valores elegidos entre $\{0,1,4\}$ se sumará alguna vez a $7\pmod8$ .

Desde $2015\equiv7\pmod8$ no puede expresarse como una suma de $3$ cuadrados perfectos.