Transformaciones lineales y reflexiones

Question

Tengo el siguiente ejercicio: Sea $T:\mathbb{R}^2\ \rightarrow\mathbb{R}^2$ sea una transformación lineal que primero realiza un corte horizontal que transforma los vectores unitarios estándar $e_1, e_2$ . En primer lugar, nos dirigimos $e_2$ en $e_2 + 2e_1$ saliendo de $e_1$ sin cambios, y luego lo reflejamos a través de la línea $x_1=- x_2$ .

Encuentre la matriz estándar de $T$ .

Así que estoy un poco confundido con esto, yo pensaría que la transformación en sí (antes de reflejarla), sería $$\begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$$

La reflexión no es clara para mí. Si $x_1 = -x_2$ ¿los intercambiamos o simplemente los convertimos $x_1$ en $-x_2$ ¿así? $$\begin{pmatrix} 0&-1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$$

Si en cambio los intercambiamos, ¿no debería ser entonces lo siguiente?:

$$\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&2\\ \end{pmatrix}$$

En cambio, la respuesta es

$$\begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&-2\\ \end{pmatrix}$$

Lo que realmente no entiendo. Agradecería alguna ayuda, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Como las columnas de la matriz de un mapa lineal son las imágenes de los vectores de la base, la matriz de la cizalla es

$$S=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ahora veamos el reflejo $R$ . El vector $a= (1, -1)^T$ pertenece a la línea de reflexión $L$ . Por lo tanto, no se modifica bajo $R$ . Mientras que el vector $b=(1,1)^T$ es ortogonal a $L$ y, por lo tanto, se asigna a $R(b)=-b=(-1,-1)^T$ .

Sin embargo, tenemos que encontrar las imágenes bajo $R$ de $e_1$ y $e_2$ . Tenemos

$$e_1 = \frac{1}{2}\left(a+b\right), \, e_2 = \frac{1}{2}\left(b-a\right)$$ y

$$R(e_1) = \frac{1}{2}\left(R(a)+R(b)\right) = -e_2, \, R(e_2) = \frac{1}{2}\left(R(b)-R(a)\right) = -e_1.$$ A partir de ahí, la matriz de $R$ es

$$R=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Y el de $T$

$$T=RS=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.$$

Nota: has cometido un error en la matriz de la reflexión. Una reflexión es invertible. Por lo tanto, ningún no-vector puede tener el vector cero para la imagen.

Answer 2

La matriz estándar de la transformación lineal plana $T$ satisfaciendo $T(e_{1}) = (a, c)$ y $T(e_{2}) = (b, d)$ tiene los vectores de la imagen como columnas: $$ \left[\begin{array}{@{}cc@{}} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]. $$ La forma natural de proceder es encontrar (probablemente por geometría) las imágenes de la base estándar bajo la reflexión dada. (La misma idea da la matriz de cizalladura, pero eso ya lo has encontrado con éxito).