Que $f(x)$ ser continuo función en $[-1,1]$ que satisface:
1. $f(-1)\ge f(1)$.
2. $x+f(x)$ es no decreciente.
3. $\int_{-1}^1 f(x)dx=0$.
Demostrar que $\int_{-1}^1 f^2(x)dx \le \frac2 3$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a escribir $\frac{2}{3}=\int_{-1}^1 x^2dx$, entonces la desigualdad se convierte en $\int_{-1}^1( f^2-x^2)dx\leq 0$
Escribir $g(x)=f(x)+x$ y $h(x)=f(x)-x$, $g(x)$ es no decreciente o monótono, así que por el Segundo valor medio teorema para la integración , tenemos $\int_{-1}^1g(x)h(x)dx=g(-1)\int_{-1}^yh(x)dx+g(1)\int_y^1h(x)dx \ \ (*)$ algunos $y\in (-1,1)$
Pero también tenemos $g(x)=h(x)+2x$, por lo que reescribir $(*)$ \begin{align} &g(-1)\int_{-1}^yh(x)dx+g(1)\int_y^1h(x)dx\\ &=g(-1)\int_{-1}^y(h(x)+2x)dx+g(1)\int_y^1(h(x)+2x)dx-g(-1)\int_{-1}^y2xdx-g(1)\int_y^12xdx\\ &=g(-1)\int_{-1}^yg(x)dx+g(1)\int_y^1g(x)dx+(1-y^2)(g(-1)-g(1))\\ &=g(-1)(\int_{-1}^yg(x)dx+1-y^2)+g(1)(\int_y^1g(x)dx-1+y^2) \end{align}
siempre que $\int_{-1}^yg(x)dx+\int_y^1g(x)dx=\int_{-1}^1(f(x)+x)dx=0$, lo que significa que si nos wirte $A=\int_{-1}^yg(x)dx+1-y^2$$\int_y^1g(x)dx-1+y^2=-A$, a continuación le reclamo que $A$ es no negativo
Por el primer valor medio teorema para la integración, $A=g(\zeta)(y+1)+1-y^2$ algunos $\zeta\in [-1,y]$ si $A$ es negativa, entonces la $A<0\Leftrightarrow g(\zeta)<y-1$
Hacer lo mismo para $-A=g(\eta)(1-y)-1+y^2>0\Leftrightarrow g(\eta)>y+1$ algunos $\eta\in [y,1]$, con lo que conseguimos $g(\eta)-g(\zeta)>2$, pero por 1 tenemos $g(-1)+1\geq g(1)-1\Leftrightarrow g(1)-g(-1)\leq 2$
La observación de que $g$ es no decreciente, la diferencia entre el $g(1)$ $g(-1)$ no puede ser menor que la diferencia entre el$g(\eta)$$g(\zeta)$, con lo que obtenemos una contradicción, lo que implica que nuestro reclamo es justo
por lo $A(g(-1)-g(1))\leq0$ que es exactamente lo que queremos demostrar
