Secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología con soportes

Question

Estoy trabajando en el problema III.2.4 de Hartshorne, y me he atascado bastante en demostrar la existencia de una secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología con soportes. Para ser más preciso, tengo $Y_1,Y_2\subseteq X$ subconjuntos cerrados y quiero mostrar una larga secuencia exacta $$ \cdots \to H^i_{Y_1\cap Y_2}(X,\mathscr{F})\to H^i_{Y_1}(X,\mathscr{F})\oplus H^i_{Y_2}(X,\mathscr{F})\to H^i_{Y_1\cup Y_2}(X,\mathscr{F})\to\cdots.$$ Pretendo hacerlo mostrando que existe una secuencia exacta $$ 0\to \Gamma_{Y_1\cap Y_2}(X,\mathscr{F})\to \Gamma_{Y_1}(X,\mathscr{F})\oplus\Gamma_{Y_2}(X,\mathscr{F})\to \Gamma_{Y_1\cup Y_2}(X,\mathscr{F})\to 0$$ y luego usarla para extraer una larga secuencia exacta sobre la cohomología relativa. Mostrar la exactitud en la primera y segunda posición no es muy difícil. Estoy atascado tratando de demostrar la subjetividad de $\Gamma_{Y_1}(X,\mathscr{F})\oplus\Gamma_{Y_2}(X,\mathscr{F})\to \Gamma_{Y_1\cup Y_2}(X,\mathscr{F})$ . He intentado un montón de acrobacias para construir para un determinado $s\in \Gamma_{Y_1\cup Y_2}(X,\mathscr{F})$ un par $(s_1,s_2)\in \Gamma_{Y_1}(X,\mathscr{F})\oplus\Gamma_{Y_2}(X,\mathscr{F})$ para que $s_1-s_2=s$ pero en vano.

Se me ha ocurrido que quizás quiera resolver primero el caso del flasque, pero ni siquiera la suposición del flasque ha servido de nada. Agradecería mucho un empujón en la dirección correcta.

Answer 1

$\newcommand{cF}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{cG}{\mathcal{G}}$ $\newcommand{cI}{\mathcal{I}}$ $\newcommand{cO}{\mathcal{O}}$ $\newcommand{G}{\Gamma}$

Este es un método. En primer lugar, recordamos un método particular para idear una resolución inyectiva para $\cF \in \mathfrak{Ab}(X)$ como en la proposición II.2.2:

Para cada punto $x\in X$ el tallo $\cF_x$ es un $\cO_{X,x}$ -por lo que existe una inyección $\cF_x\to I_x$ donde $I_x$ es un inyectivo $\cO_{X,x}$ -(2.1A). Para cada punto $x$ , dejemos que $j$ denotan la inclusión del espacio de un punto $\{x\}$ en $X$ y considerar la gavilla $\cI=\prod_{x\in X} j_*(I_x)$ . Aquí consideramos $I_x$ como una gavilla en el espacio de un punto $\{x\}$ y $j_*$ es el functor de imagen directa (II, sección 1).

Ahora, para cualquier gavilla $\cG$ de $\cO_X$ -tenemos $\operatorname{Hom}_{\cO_X}(\cG,\cI)=\prod \operatorname{Hom}_{\cO_X}(\cG,j_*(I_x))$ por la definición del producto directo. Por otra parte, para cada punto $x\in X$ tenemos $\operatorname{Hom}_{\cO_X}(\cG,j_*(I_x))=\operatorname{Hom}_{\cO_{X,x}}(\cG_x,I_x)$ . Así, concluimos que existe un morfismo natural $\cF\to \cI$ obtenido de los mapas locales $\cF_x\to I_x$ . (no...)

A partir de aquí, la prueba termina observando todo lo que exigiríamos al mapa $\cF\to I$ se verifica a partir de la descripción anterior del conjunto Hom y de la situación de los módulos sobre un anillo local. El resultado para nosotros es que siempre podemos encontrar una resolución $0\to\cF\to I_0\to I_1\to \cdots$ donde cada $I$ es un producto directo de gavillas con soporte en un solo punto.

Ahora afirmamos que $$0\to \G_{Y_1\cap Y_2}(X,I_i) \to \G_{Y_1}(X,I_i) \oplus \G_{Y_2}(X,I_i) \to \G_{Y_1\cup Y_2}(X,I_i) \to 0$$ es una secuencia exacta, donde el primer mapa es la inclusión en cada factor y el segundo mapa es la diferencia. Esto se deduce inmediatamente de la descripción de $I_i$ como apoyado en un solo punto. Finalmente, aplicando el lema de la serpiente a los diagramas adecuadamente apilados, obtenemos una larga secuencia exacta en cohomología.

(Esta estrategia nos permite omitir lo que te da problemas porque cuando queremos calcular un functor derivado de un objeto $\cF$ podemos calcular la homología de ese functor derivado aplicado a cualquier resolución apropiada de $\cF$ . Así que elegimos una buena resolución, y así no tenemos que trabajar tanto).