Cómo simplificar :
$$\sqrt{\tan ^2 x + \cot ^2x }$$
la opción son :
(i) $ \tan x . \sin x$
(ii) $\sin x . \cos x $
(iii) $ \sec x . \csc x $
(iv) $ \frac{1}{\tan x - \cot x}$
(v) $ \csc^2 x - \sec ^2 x$
Mi enfoque :
Desde $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ ,
$$ \begin{align} \sqrt{\tan ^2 x + \cot ^2x } &= \sqrt{\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} + \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}} \\ &= \sqrt{\frac{\sin ^4 x + \cos ^4 x}{\sin ^2 x . \cos ^2 x} }\\ &= \sqrt{\frac{(\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin x . \cos x}{\sin ^2 x . \cos ^2 x} }\\ &= \sqrt{\frac{1 - 2\sin x . \cos x}{\sin ^2 x . \cos ^2 x} }\\ &= \sqrt{\sec ^2 x . \csc^2 x - 2 \sec x . \csc x}\\ &= \sqrt{\sec x . \csc x ( \sec x . \csc x - 2)}\\ \end{align} $$
A partir de este punto, no tengo ni idea de cómo debo enfocar este problema para conseguir otra forma de esta ecuación disponible en la opción.
Otro enfoque que tengo en mente es el de cambiar $\cot x = \frac{1}{\tan x}$
$$ \begin{align} \sqrt{\tan ^2 x + \cot ^2x } &= \sqrt{\tan ^2 x + \frac{1}{\tan ^2 x}} \\ &= \sqrt{\frac{\tan ^4 x + 1}{\tan ^2 x} }\\ \end{align} $$
Desde este punto, no tengo ni idea.
¿Qué me estoy perdiendo o qué enfoque debería sugerir para cambiar la forma a la opción disponible en la opción?
