Bola de bolos sobre una lámina de goma

Question

Después de leer una guía para profanos sobre la relatividad general, empecé a preguntarme qué forma tendría una bola de bolos sobre una gran lámina de caucho. Para simplificar, quiero suponer que la ley de Hooke se aplica al caucho.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

El caso unidimensional es una masa $M$ suspendido en medio de una banda elástica con longitud $L$ y la constante del muelle $k$ . En este caso, la banda crearía una forma de V, donde el ángulo en el centro (entre la banda y la horizontal) está limitado por $2Tsin(\theta) = Mg$ y la tensión está relacionada con la cantidad de estiramiento por la ley de Hooke, dando $T = k \Delta L = k (\sqrt{L^2 + (L\ tan\ \theta)^2 } - L)$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder en el caso bidimensional. ¿Es válido considerar una lámina de caucho como una malla infinitamente fina de bandas elásticas? Intuitivamente, a cierta distancia $r$ desde el punto de masa, parece que la masa debe ser soportada igualmente por el material en el círculo de radio $r$ , por lo que tendríamos $2\pi r T sin(\theta_r) = Mg$ . Sin embargo, esto significa que como $r\rightarrow 0$ tenemos $T\rightarrow\infty$ que no es física (creo que la tensión debe ser constante en todas las partes de la hoja).

¿Cuál es la forma correcta de modelar la forma de una lámina de caucho con una masa puntual sobre ella?

Answer 1

La generalización de la ley de Hooke a dos dimensiones requiere la introducción de Relación de Poisson Cuando se estira un material en una dirección, tiende a contraerse en las direcciones perpendiculares. Así que la tensión radial del peso de la bola, producirá una contracción circunferencial que creará una tensión circunferencial para compensarla.

Por lo tanto, en cualquier punto de tu lámina de goma habrá tensión en dos direcciones perpendiculares, y como la superficie resultante será de revolución, cualquier forma que no sea un plano horizontal tendrá al menos una curvatura no nula. Curvatura más tensión significa fuerza perpendicular a la superficie, a no ser que las curvaturas principales de tu superficie tengan signos opuestos, y cuando se componen con la tensión correspondiente se compensan mutuamente.

Si en lugar de una lámina de goma se tuviera una película de jabón, se llegaría a la conocida superficie mínima de revolución, la catenoide . Pero en el caso de una lámina de caucho, la curvatura media no será exactamente nula y, por tanto, la forma será diferente, aunque con el mismo aspecto general: radialmente debe curvarse en sentido contrario al eje de revolución para compensar la curvatura circunferencial.

Probablemente sólo he añadido más confusión, pero la forma en dos dimensiones definitivamente no será un cono.

Answer 2

La gravedad no obedece a la ley de Hooke, sino que es una ley de potencia inversa (inversa del cuadrado para ser más específicos) . La analogía de la lámina de caucho sólo sirve para mostrar la naturaleza curva del espacio. La lámina de goma sería como tú has sugerido con una línea recta inclinada.