¿Qué es la potencia cero de una matriz no cuadrada?

Question

Me han dicho que la matriz de potencia cero del cuadrado es una matriz de identidad de tamaño adecuado. ¿Cómo es con una matriz no cuadrada?

Answer 1

La exponenciación de matrices (cuadradas) es una función recursiva, que definimos así $A^0 =I$ y $A^1 = AA^0 = A^0A$ , $A^2 = AA^1= A^1A$ , etc.

La exponenciación de matrices no cuadradas no está bien definida, por la sencilla razón de que $A^2 =AA$ (y productos superiores de $A$ con ella misma) no es un producto matricial válido. Así que la respuesta corta es que como no definimos la exponenciación en absoluto para las matrices no cuadradas, incluso $A^0$ y $A^1$ son indefinidos en el caso no cuadrado.

Supongamos que usted insiste en tener una definición de $A^0$ y $A^1$ para m × n matrices para m ≠ n para que $A^1=A$ y también $A^0$ era alguna matriz que te devolvía $A$ después de la multiplicación a la izquierda o a la derecha por $A$ . Pero eso es absurdo, porque cualquier cosa que intentes definir $A^0$ como, sólo se definiría uno de esos productos. Así que realmente no tenemos ninguna opción buena y única para lo que $A^0$ debería ser que también nos diera una definición razonable de $A^1$ que se esperaba. A falta de una buena forma de definir $A^0$ dejamos a los dos $A^0$ y $A^1$ indefinido.

Answer 2

La notación de "potencia" no tiene sentido para las matrices rectangulares no cuadradas, ya que no se pueden multiplicar por sí mismas. Puedes definir la potencia cero de una matriz no cuadrada como quieras, pero probablemente será de poca utilidad.