Los objetos matemáticos determinado por su red de relaciones

Question

Permítanme citar Barry Mazur de su ensayo Cuando una cosa es igual a otra cosa?:

"los objetos matemáticos [son] determinado por la red de relaciones que disfrutan con todos los demás objetos de su especie"

Siempre tomé esta consigna literalmente, pero recientemente fue superado por las dudas si me he perdido algo.

Mira el juguete de la categoría de los gráficos de más de dos vértices fijos y una flecha que siempre hay un gráfico de homomorphism. Las composiciones y las identidades se omite:

Los números se derivan de las matrices de adyacencia: 0 = 00/00, 1 = 10/00, ..., 15 = 11/11.

Entre otros, los gráficos #6 y #9 no son isomorfos (es decir, "esencialmente el mismo"), pero indistinguibles con respecto a la red de relaciones que disfrutar (es decir, conjugado):

gráfico #6 gráfico #9

¿Qué es el grano de sal que tengo que tomar Mazur del lema? O es que hay algo mal con mi juguete categoría?

Answer 1

Creo que el punto es que hay dos tipos de equivalencias entre los objetos de una categoría: la primera es la relación de isomorfismo entre los objetos de la categoría, el segundo es la relación de conjugación a través de un determinado functor (aquí estoy usando la notación de este hilo).

A mí me parece que la diferencia entre estos dos tipos de correspondencias a que se hace evidente si ves categorías desde un punto de vista lógico: se puede pensar en una categoría como una teoría en la cual los objetos son el tipo de la teoría (que puede ser considerado como conjunto de tipos de la teoría o de los predicados unarios), mientras que los morfismos puede ser visto como una serie de relaciones (o predicados binarios) entre este tipo. Desde este punto de vista functors son sólo interpretaciones de una teoría a otra: se ordena enviar de una teoría en las clases de la otra y las relaciones entre las dos clases de la primera teoría de las relaciones entre el correspondiente tipo de la segunda teoría.

(Nota: a) las categorías deben ser consideradas como teorías sin identidad.

Desde este punto de vista isomorfo objetos de las clases que puede ser demostrado ser equivalente en la teoría, lo que significa que existe una prueba de que cada frase que tiene para una especie sostiene también para la otra clase. Debido a que las categorías son teorías sin identidad isomorfismo es la única manera que tenemos para distinguir clases (objetos) en la teoría de la categoría).

De conjugación en cambio, es una relación diferente, se dice que dos objetos pueden ser vistos como la misma a través de un adecuado invertible interpretación de teorías: que significa que hasta para cambiar el nombre de clase y las relaciones de cada frase que vale para uno vale también para la correspondiente clase. La conjugación de dos tipos, dice que podemos reinterpretar cada especie en el otro sin cambiar la lógica de la teoría.

Así, mientras que la primera relación, dice algo acerca de la teoría de que la segunda es una relación de los acuerdos con la teoría y una interpretación de la teoría en sí misma. Ambos son meta-relaciones, es decir, que dicen algo acerca de las teorías, sino que dice cosas diferentes en el nivel lógico.

Espero que esta respuesta te pueden ayudar.