¿Qué significa exactamente la media espacial en el teorema ergódico?

Question

Espacio medio: Si (X) es finito y no nulo, podemos considerar la media espacial o de fase de ƒ:

(de http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_theory#Ergodic_theorems )

¿Pero es comparable a la media temporal?

¿No debería compilarse la media espacial de f para un tiempo determinado, dado que f depende de t (o T^k)? ¿O la media espacial de f sería igual para todos los valores de tiempo t?

(hmm, f se integra y promedia en el tiempo, y luego f se integra y promedia en el espacio...)

Answer 1

$f$ es sólo una función $X \rightarrow X$ No hay dependencia del tiempo. El "tiempo" proviene de la composición $f$ con iteraciones de $T$ . El teorema ergódico fuerte (como se describe en el artículo de Wikipedia) dice que si $(T,\mu)$ es un sistema ergódico, entonces $$ \frac{1}{\mu(X)} \int f \, d\mu = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (f \circ T^k)(x),$$ para $\mu$ -casi todo $x \in X$ . Así que el LHS es la media espacial de $f$ y el lado derecho es la media temporal de los mapas $f \circ T^k$ aplicado al punto $x$ . Así que, en otras palabras, estamos viendo la órbita $\{f(x), f(Tx), f(T^2x), \ldots\}$ y para casi todos los $x$ el promedio de estos puntos es simplemente igual al promedio de los valores de $f$ en todo el ámbito $X$ . Intuitivamente, esto significa que la ergodicidad te dice que la órbita de $x$ en $T$ visitas en todas partes en $X$ de manera uniforme.

Por favor, comente si tiene más preguntas.