Estoy cursando álgebra dos y se me ocurren preguntas como esta por lo que me gustaría aprender a resolverlas, actualmente estoy trabajando en la composición de funciones.
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Adam Latosiński
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Tenemos $$ f(x^4) = f(g(f(x)) = (f(x))^3 $$ Dejemos que $F(y) := \log f(e^y)$ . Tenemos $$ F(4y) = \log f(e^{4y}) = \log \big((f(e^y))^3\big) = 3\log f(e^y) = 3F(y) $$ Se puede construir fácilmente este tipo de funciones. Puedes tomar cualquier función $F : (-4,-1]\cup[1,4) \rightarrow \mathbb R$ y luego definir $F(4^k y) = 3^k F(y)$ para $k\in\mathbb Z$ que definirá $F: (-\infty,0)\cup(0,\infty)\rightarrow \mathbb R$ , y finalmente poner $F(0)=0$ .
Puede tomar entonces $$ f(x) = \exp F(\log x)$$ que definirá $f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb (0,\infty)$ . Si esta función resulta ser invertible (lo que ocurre si $F:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ es invertible), entonces se puede definir $g(x) = f^{-1}(x^3)$
Ejemplo: $$ F(y) = \left\{\begin{array}{ll} y^{\log_4 3} & \text{for }y>0 \\ 0 & \text{for }y=0 \\ -(-y)^{\log_4 3} &\text{for }y<0 \end{array}\right.$$ $$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \exp\big((\log x)^{\log_4 3}\big) & \text{for }x>1 \\ 1 & \text{for }x=1 \\ \exp\big(-(-\log x)^{\log_4 3}\big) &\text{for }0<x<1 \end{array}\right.$$ $$ g(x) = \left\{\begin{array}{ll} \exp\big((3\log x)^{\log_3 4}\big) & \text{for }x>1 \\ 1 & \text{for }x=1 \\ \exp\big(-(-3\log x)^{\log_3 4}\big) &\text{for }0<x<1 \end{array}\right.$$
