Demostración del teorema 1.41(d) sobre el análisis funcional de Rudin. Inducir una métrica invariante en el espacio cotizante $X/N$ .

Question

Tengo una pregunta de la demostración del Teorema 1.41 (d) en el Análisis Funcional de Rudin.

A saber, que $N$ sea un subespacio cerrado de un espacio vectorial topológico $X$ . Sea $\tau$ sea la topología de $X$ y definir $\tau_N$ como la topología del cociente en $X /N$ .

En este caso, 1.41 (d) muestra que si $\tau$ es inducida por una métrica invariante completa $d$ entonces $\tau_N$ también es inducida por alguna métrica invariante completa $\rho$ .

Prueba: Supongamos que $d$ es una métrica invariante en $X$ compatible con $\tau$ . Definir $\rho$ por $$\rho(\pi(x),\pi(y))= \inf\{d(x-y,z):z \in N\}.$$ Esto puede interpretarse como la distancia de $x-y$ a $N$ . Omitimos las comprobaciones que ahora son necesarias para demostrar que $\rho$ está bien definida y que es una métrica invariante en $X/N$ . Desde $$\pi(\{x:d(x,0)<r\})=\{u:\rho(u,0)<r\},$$ se deduce de (b) que $\rho$ es compatible con $\tau_N$ .

En esta prueba, ¿cómo demostramos que $\rho$ es un invariante bien definido, es decir, si $x_1 - x_2 \in N$ y $y_1-y_2 \in N$ entonces $d(x_1-y_1,N)=d(x_2-y_2,N)$ ?

Además, ¿cómo demostramos que $\pi(\{x:d(x,0)<r\})=\{u:\rho(u,0)<r\}$ ?

Agradecería mucho cualquier ayuda con estas preguntas.

Answer 1

Creo que lo he demostrado.

Bien definido : Supongamos que tenemos $x_1 - x_2 \in N$ y $y_1 - y_2 \in N$ .

Entonces, para cualquier $z \in N$ , $d(x_1 - y_1, z)=d(x_1 - y_1 + x_2 - y_2, z + x_2 - y_2) = d(x_2 - y_2, z+ x_2 - y_2 - x_1 + y_1)$ .

Ahora, a la derecha, $x_2-y_2 - x_1 + y_1 \in N$ y $z$ varía en el subespacio lineal $N$ por lo que tomando el ínfimo de ambos lados sobre $z \in N$ obtenemos $d(x_1-y_1,N)= d(x_2-y_2,N)$ .

$\pi\{x:d(x,0)<r\} = \{u: \rho (u,0)<r\}$ :

Supongamos que $d(x,0)<r$ para algunos $x \in X$ . Entonces $\rho(\pi(x),\pi(0)) = d(x,N)$ . Esto es $0$ si $x \in N$ y si $x \notin N$ tenemos $d(x,N) \le d(x,0) < r$ . Así que tenemos $\rho(\pi(x),0)<r$ .

A continuación, supongamos que $\rho(u,0)<r$ . Entonces $u = x + N = \pi(x)$ para algunos $x \in X$ . Esto significa que para algunos $n \in N$ tenemos $d(x,n)<r$ . Por invariabilidad, $d(x-n,0)<r$ . Pero $\pi(x-n)=\pi(x) - \pi(n) = \pi(x) = u$ . Así que también tenemos la inclusión de la izquierda.