Demuestra que si A ∪ B ⊆ C ∪ D, A ∩ B = ∅ y C ⊆ A, entonces B ⊆ D.

Question

Sean A, B, C y D conjuntos. Demuestra que si A ∪ B ⊆ C ∪ D, A ∩ B = ∅ y C ⊆ A, entonces B ⊆ D.

Answer 1

Tomemos b ∈ B ⊆ A∪B ⊆ C∪D. Como A∩B = ∅ y b ∈ B, entonces b∉A. Además, como C⊆A y b∉A, entonces b∉C. Si tenemos en cuenta ahora que desde el principio teníamos que b ∈ C∪D, y ahora hemos obtenido que b∉C, entonces necesariamente b ∈ D. Como hemos demostrado que todo elemento b en B pertenece necesariamente a D, entonces concluimos que B⊆D. ∎