Lo mejor que se puede hacer, en cuanto a tamaño y entradas pequeñas, es un $5\times5$ matriz con cuatro $1$ s y el resto $0$ s, por ejemplo $$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$ Editar:
No hay $4\times4$ matrices con las propiedades deseadas.
Prueba:
Si tiene un valor no negativo $4\times4$ matriz con $0$ s en la diagonal, entonces el término constante de su polinomio característico es $\leq0.$ Si tiene un valor propio real con multiplicidad algebraica dos y dos valores propios no reales, entonces su polinomio característico es un producto de dos cuadráticas mónicas, una de las cuales tiene un término constante $\geq0,$ correspondiente al valor propio real con multiplicidad algebraica dos, y uno de los cuales tiene un término constante positivo, correspondiente a los dos valores propios no reales. Contra-dicción.
El número mínimo de entradas no nulas es cuatro.
Prueba:
Si tiene un valor no negativo $5\times5$ matriz $A$ con $0$ s en la diagonal, entonces el coeficiente del término cúbico de su polinomio característico mónico es $\leq0.$ Si el número de entradas no nulas en $A$ es menor que cuatro, entonces tiene al menos dos filas y columnas nulas, de ahí la nulidad de $A$ es al menos dos, y $0$ tiene multiplicidad algebraica tres. Pero ahora los dos valores propios restantes también son reales.
Hay otras configuraciones. Elija un término cuadrático del polinomio característico; las entradas de su coeficiente son $1$ s. A continuación, escoge una entrada que no esté en el intervalo de las tres anteriores, ni en la diagonal; es un $1.$ El resto son $0$ s.
