Notación para una serie temporal completa frente a una instancia temporal

Question

En el análisis de series temporales, $x_t$ puede denotar una serie temporal completa (un conjunto ordenado en el tiempo de variables aleatorias o sus realizaciones) o una única variable aleatoria o su realización que es específica del tiempo $t$ . ¿Cuál es una notación breve y no torpe que permita desambiguar entre ambos?

Me encontré con esto al dar clases, y quiero evitar la confusión entre los estudiantes. Hasta ahora he considerado $x_t$ durante un periodo de tiempo determinado y $\{x_t\}$ para toda la serie. ¿Tiene sentido?
Por otro lado, algo como $\{x_t\}_{t=1}^T$ parece demasiado específico en cuanto a los índices de tiempo permitidos (por qué exactamente $t=1$ pero no $t=0$ o $t=-\infty$ y de forma similar para $T$ contra. $\infty$ contra ...) y demasiado torpe para mí.

Answer 1

Yo me quedaría con la notación de Hamilton:

• { $X_t$ } para el infinito secuencia de variables aleatorias /el proceso
• { $x_t$ } para una realización del proceso (también infinito )/estos son valores / escalares
• ( $x_1,x_2,...,x_n$ ) para el finito series temporales observadas/nuestros datos (un subconjunto de una realización)
• $x_t$ para el valor particular realizado en el momento t

Letras mayúsculas utilizadas para las variables aleatorias; letras minúsculas utilizadas para los valores realizados de las variables aleatorias; {} utilizado para las secuencias infinitas; () utilizado para las secuencias finitas.