Demostrar mediante combinatoria $\sum\limits_{r=0}^n r^2\binom{n}{r}=n(n+1)*2^{n-2}$ .

Question

Demostrar mediante combinatoria $\sum\limits_{r=0}^n r^2\binom{n}{r}=n(n+1)*2^{n-2}$ .

El lado izquierdo está eligiendo $r$ personas de $n$ personas y hacer un líder y un colíder de tal manera que el líder y el colíder pueden ser los mismos.Pero entonces el lado izquierdo debe elegir un líder y un colíder y luego elegir el otro lo que hace que el lado izquierdo $n^2*2^{n-2}$ ¿en qué me he equivocado?

Answer 1

Es más fácil si reescribes el lado derecho como $n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1}$ , entonces cuenta los dos casos por separado (el líder y el colíder son iguales, o diferentes).

Answer 2

El razonamiento para el lado derecho es erróneo, cuando estás eligiendo al líder y luego al colíder lo estás considerando como n^2 casos y luego para elegir a los otros miembros estás considerando 2^(n-2) maneras, sin embargo si el líder y el colíder son iguales entonces hay 2^(n-1) maneras de elegir el equipo y si son diferentes entonces hay 2^(n-2) maneras de elegir el equipo, así que tendrás que dividirlo en dos casos como sugiere @Thomas Andrews