El campo de los números racionales no es un campo de número. Es decir, no existe un suave proyectiva de morfismos $X\to\text{Spec } \mathbf{Z}$ de manera tal que el genérico es de fibra de una curva de género $\geq 1$.
Que los campos de número de permitir o no permitir) la existencia de tales curvas?
Para cualquier campo de número de $K/\mathbf{Q}$ grado $>1$, ¿existe un suave proyectiva geométricamente conectado curva de $X$ $K$ con una buena reducción de más de $K$?
Esta es una pregunta interesante.
Aquí es, creo, un resultado parcial por género,$1$. Tomar todo lo que yo escribo con un grano de sal (edit: hacer que toda una pizca. Ver la discusión en los comentarios.).
Deje $X$ ser la curva proyectiva sobre $\mathbf Q$ dado por la ecuación homogénea de grado 12 $$-16(4a^3+27b^2) = d^{12}$$ in the three variables $(a,b,d)$, where $un$ has graded degree $4$, $b$ has graded degree $6$, and $d$ has graded degree $1$.
La proposición: Vamos a $P=(a_P, b_P, d_P)$ $\overline{\mathbf Q}$- punto de $X$, con campo de definición de la $K_P = \mathbf Q(a_P, b_P, d_P)$. Si $d_P \neq 0$, entonces la curva elíptica
$$E_P \: : \: y^2 = x^3 +a_Px + b_P$$
definido a lo largo del $K_P$ tiene buena reducción en todas partes.
De hecho, la condición para $E_P/K_P$ tener buena reducción en algunos de los mejores $\mathfrak p$ $\mathcal O_K$ es que el modelo mínimo de $E_{P, \mathfrak p} : =E_P\times_{K}K_{\mathfrak p}$ $K_\mathfrak p$ tiene unidad discriminante; esto es así, si y sólo si $\mathcal v(\Delta_{E_P}) \equiv 0 \mod 12$, es decir, $\Delta_{E_P}$ es un twelvth potencia en $K^\times$ (por el algoritmo de Tate) (Edit: el "sólo si" la parte que no está bien. Ver los comentarios.). Esto es precisamente lo que la ecuación de definición de $X_\Delta$ expresa.
Lo que esto demuestra, de hecho, es que el $X_\Delta$ $12$- toldo (ramificado, en singular) de la cubierta de la proyectiva $j$línea $\mathbf P^1_j$, que extrae aparte en doce de las fibras de la falsa universal de curva elíptica sobre $\mathbf P^1_j$.
Un revés de la Proposición es que su recíproco es falso, es decir, no todas las curvas elípticas sobre $K$ con todo buena reducción corresponde a una $K$-punto de $X$. De hecho, lo que si el discriminante $\Delta(E) \in K^\times$ satisface $\nu(\Delta(E)) \equiv 0 \mod 12$ por cada lugar $\nu$$K$, pero no es global $12$-ésima potencia en $K$? Esta obstrucción se mide por el finita de Galois-cohomological objeto $$K(S,m) := \{ x \in K^\times/(K^\times)^m : \nu(x) \equiv 0 \mod 12 \: \forall \: \nu\}$$ which we could call the $\mathbf Z/m\mathbf Z$-module of 'Weil periods'. To get the right correspondence, I believe we should extend the scalars of $X\Delta$ from $\mathbf P$ to the 12-th cyclotomic field $\mathbf Q(\zeta_{12})$.
Comentario: no estoy muy seguro de lo que el género de (la normalización de) $X_\Delta$ es, pero sin duda es mayor que $1$. Junto con Falting del teorema, esto parece implicar:
Reclamo: Vamos a $K$ ser un campo de número. Entonces, a a $K$-isomorfismo, hay un número finito de curvas elípticas sobre $K$ con una buena reducción de la en todas partes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
