Dado un campo $\mathbb F$ ¿hay un campo más pequeño $\mathbb G\supseteq\mathbb F$ donde cada elemento de $\mathbb G$ tiene un $n$ la raíz para todos $n$ ?

Question

El campo base $\mathbb F$ probablemente no sea importante, pero estoy usando las expresiones racionales sobre el campo binario, $\mathbb F=\mathbb F_2(x)$ .

Un subcampo de $\mathbb G$ consiste en cocientes de polinomios en raíces de $x$ con coeficientes en $\mathbb F_2$ como por ejemplo

$$\frac{x^{2/5}+x^{-1/3}+x^2}{x^{-2/3}+1}=\frac{x^{16/15}+x^{1/3}+x^{8/3}}{1+x^{2/3}}=\frac{\sqrt[15]x^{40}+\sqrt[15]x^{16}+\sqrt[15]x^5}{\sqrt[15]x^{10}+1},$$

y tales expresiones se suman y multiplican utilizando las reglas habituales para las funciones racionales, y $x^ax^b=x^{a+b}$ para $a,b\in\mathbb Q$ .

La cuadratura y las raíces cuadradas son lineal en $\mathbb F_2$ por lo que podemos simplemente reducir a la mitad los exponentes en $x$ para obtener la raíz cuadrada de la expresión. Así, cualquier $2^n$ La raíz siempre existe. Por ejemplo,

$$x+1=(x^{1/2}+1)^2=(x^{1/4}+1)^4=(x^{1/8}+1)^8.$$

Pero esto no funciona para otros $n$ raíces; no es posible escribir

$$x+1=\frac{p(x^{1/m})^3}{q(x^{1/m})^3}$$

donde $p,q$ son polinomios y $m\in\mathbb N$ . Por lo tanto, es necesario que se adhiera formalmente $\sqrt[3]{x+1}$ al campo, o en su lugar $\sqrt[3]{x^{1/2}+1}$ etc.

---

¿Existe un campo único y bien definido $\mathbb G$ de tales expresiones algebraicas sobre $\mathbb F$ ?

Tenga en cuenta que no quiero $n$ diferentes $n$ de cada elemento, sólo una raíz (a menos que $\mathbb F$ ya tiene raíces de unidad; pero elegí $\mathbb F_2$ para evitarlo).

Dada la cierre algebraico $\mathbb A\supseteq\mathbb F$ Podríamos tomar la intersección $\mathbb G\overset?=\bigcap\{\mathbb B\}$ de todos los campos intermedios $\mathbb A\supseteq\mathbb B\supseteq\mathbb F$ con la propiedad $\forall n\in\mathbb N,\,\forall a\in\mathbb B,\,\exists b\in\mathbb B,\,a=b^n$ . Pero esto no funciona porque los diferentes campos tienen diferentes raíces de $a$ por lo que su intersección no contiene ninguna raíz de $a$ . Es de suponer que hay alguna manera de utilizar el axioma de elección para construir $\mathbb G$ , ya sea a través de $\mathbb A$ o directamente desde $\mathbb F$ . ¿Es este el caso? ¿Puede modificarse la prueba de existencia de la Wiki (no la he seguido en detalle) para dar $n$ ¿las raíces de todo sin introducir nuevas raíces de unidad? ¿Y qué hay de la unicidad?

¿Existe una construcción más sencilla de $\mathbb G$ para el caso especial de $\mathbb F_2(x)$ ¿que no utiliza el axioma de elección? Aquí no requiero la unicidad. Ver por ejemplo esta respuesta estaríamos utilizando polinomios de la forma $x^p-a$ que son irreducible sobre el campo definido por los polinomios anteriores.

---

Tener varios $n$ las raíces de $a\neq0$ equivale a tener un $n$ de la unidad: Si $x_1^n=x_2^n=a$ y $x_1\neq x_2$ entonces $(x_1/x_2)^n=1$ y $(x_1/x_2)\neq1$ . Por el contrario, si $\omega^n=1$ y $\omega\neq1$ y $x_1^n=a$ entonces $(\omega x_1)^n=a$ y $x_1\neq\omega x_1$ .

Si $\mathbb F$ tiene una primitiva $mn$ raíz de la unidad, entonces también tiene una primitiva $n$ raíz de la unidad, por lo que sólo debemos considerar los números primos. Fijemos dos primos $p\neq q$ . Si $\mathbb F$ tiene una primitiva $p$ raíz de la unidad $\omega_1$ entonces $\mathbb G$ debe tener una primitiva $p^n$ raíz de la unidad $\omega_n$ para todos $n$ ya que no es primitivo $p^n$ las raíces de la unidad nunca pueden alcanzar $\omega_{n-1}$ como $p$ de la energía. Si $\mathbb F$ no tiene una primitiva $q$ raíz de la unidad, entonces $\mathbb G$ tampoco debería, puesto que ya tenemos $1^q=1$ y $(\omega_n^r)^q=\omega_n$ donde $r=q^{-1}\bmod p^n$ .

Answer 1

Bueno, por mi discusión en los comentarios, probablemente esté claro que no he comprendido del todo la profundidad de este problema. Pero permítanme hacer algunas observaciones, primero sobre el caso muy especial $\mathbf F=\Bbb F_2(x)$ . Ocurre, y algunas personas con mucha experiencia parecen no saberlo, que cuando $\mathbf F$ es de grado de trascendencia uno sobre un campo perfecto de característica $p$ y no ya perfecta, hay exactamente una radicial (=puramente inseparable, eso es francés radiciel ) extensión de cada grado posible $p^m$ . Creo que esto debería aclarar su pensamiento sobre una extensión cerrada de raíz cuadrada de $\Bbb F_2(x)$ .

En segundo lugar, permítanme señalar la dificultad de describir cualquier construcción para su campo $\mathbf F=\Bbb F_2(x)$ : para $d$ impar, las extensiones $\mathbf F(\sqrt[d]x\,)$ y $\mathbf F(\sqrt[d]{x+1}\,)$ no tienen nada que ver entre sí: su intersección es el campo de tierra $\mathbf F$ . Pegue cualquier $\Bbb F_2$ -irreducible bajo el signo radical y obtener otra extensión totalmente ajena. Así que conceptualmente de todos modos, esto se está convirtiendo en un lío; usted necesita preocuparse por las expresiones racionales, también.

Supongo que pensabas especificar desde el principio que en todos los casos, el $n$ -raíz de $1$ que elija es $1$ mismo. Incluso si lo hace, no me queda claro que en su elección de lotes de $n$ -raíces de otros elementos, puede inducir inadvertidamente la presencia de otras raíces de unidad que $1$ sí mismo. En realidad esto simplificaría las cosas, pero creo que te estás complicando las cosas. Me parece que si acuerdas desde el principio que todas las raíces de la unidad deben sumarse (esto haría que el campo constante $\overline{\Bbb F_2}\,$ , algebraicamente cerrado), entonces la existencia de su campo se ve ahora fácilmente, aunque una construcción explícita seguiría siendo algo problemática.

Answer 2

He aquí un buen punto de referencia. Si $\Bbb F$ es un campo, y $\Bbb K$ es una extensión de campo tal que

1. $\Bbb{K/F}$ es de dimensión infinita, y
2. para cada irreducible $p\in\Bbb F[x]$ , si $p$ tiene al menos dos raíces en $\Bbb K$ entonces existe un automorfismo de $\Bbb K$ (fijación $\Bbb F$ ), que es un completo desvarío de las raíces de $p$ en $\Bbb K$ .

En este caso, existe un modelo de $\sf ZF$ en el que existe un campo que es "moralmente isomorfo a $\Bbb K$ pero no es internamente isomorfo a él". Es decir, añadimos una nueva copia de $\Bbb K$ pero eliminamos el isomorfismo, y de hecho cualquier biyección, conservando la estructura de campo, y toda extensión de campo de $\Bbb F$ La incrustación en ambos será de dimensión finita.

No es difícil ver que su "campo más pequeño" satisfará estas propiedades, o al menos, podemos encontrar un campo de este tipo que garantice que no existe el "más pequeño".

Answer 3

En lugar de construir un cierre radical $\Bbb{F}^{rad}$ por intersección, ¿por qué no construirlo por un proceso de unión? Empieza con tu campo base $\Bbb{F}$ (en su caso particular, el campo base es $\Bbb{F}_2(x)$ ) que, por supuesto, no está ya radicalmente cerrado (o este proceso terminará en el primer paso, lol). Su siguiente campo $\Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}$ es la unión de todas las extensiones radicales de $\Bbb{F}$ , $$\Bbb{F}_1 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}(\sqrt[n]{a}) \right);$$ el siguiente campo $\Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1$ es la unión de todas las extensiones radicales de $\Bbb{F}_1$ , $$\Bbb{F}_2 := \bigcup_{a \in \Bbb{F}_1} \left( \bigcup_{n \geq 2} \Bbb{F}_1(\sqrt[n]{a}) \right);$$ y continuando de esta manera, se adquiere una secuencia de extensiones radicales $$... \supset \Bbb{F}_n \supset ... \supset \Bbb{F}_2 \supset \Bbb{F}_1 \supset \Bbb{F}.$$ Es evidente que la ampliación $\Bbb{F}_n/\Bbb{F}_{n-1}$ será única hasta el isomorfismo en cada etapa, y por lo tanto toda la cadena también lo es. Por lo tanto, $\Bbb{F}^{rad} := \bigcup_{n \geq 1} \Bbb{F}_n$ es único hasta el isomorfismo y cada elemento de $\Bbb{F}^{rad}$ tiene un $n$ raíz en $\Bbb{F}^{rad}$ para todos $n \geq 2$ .

Editar: Este método en cadena sigue funcionando incluso si, como en el caso de OP, sólo queremos a para cada elemento del campo. Comience con el campo base $F := \Bbb{F}_2(x)$ . Construir $F_1 \supset F$ a través de $$F_1 := \bigcup_{a \in F^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q)$$ donde para evitar el Axioma de Elección consideramos $a^q$ , $q \in \Bbb{Q} \setminus \Bbb{Z}$ para ser "poderes" puramente formales de los elementos $a$ bajo relaciones de equivalencia apropiadas, como: $$(a^n)^q \sim (a^q)^n \text{ for all } q \in \Bbb{Q}, n \in \Bbb{Z}, a \in F^\times,$$ $$a^q a^r \sim a^{q+r} \text{ for all } q, r \in \Bbb{Q}, a \in F^\times,$$ o $$(ab)^q \sim a^q b^q \text{ for all } a, b \in F^\times, q \in \Bbb{Q}.$$ En la mayoría de los campos, los problemas de raíz de la unidad harían que el establecimiento de estas relaciones de equivalencia estuviera plagado de dificultades, pero como la única raíz de la unidad en $F = \Bbb{F}_2(x)$ es $1$ en sí, estas relaciones de equivalencia acaban comportándose como queremos que lo hagan, sin muchas complicaciones. (Edición: También deberíamos especificar que $x \sim 0$ si $x^n = 0$ para algunos $n$ .)

Sigue iterando esta construcción para obtener un nuevo campo $F_{k+1}$ del campo anterior $F_k$ : $$F_{k+1} := \bigcup_{a \in F_k^\times} \bigcup_{q \in \Bbb{Q}} F(a^q),$$ donde también añadimos que nuestras relaciones de equivalencia deben obedecer $(a^q)^r \sim (a^r)^q \sim a^{rq}$ para todos $a \in F_{k-1}$ y todos $q, r \in \Bbb{Q}$ . Entonces, como antes, obtenemos el campo de radicales deseado mediante $\bar{F} := \bigcup_{k \geq 1} F_k$ y cualquier otro campo que sea cerrado bajo radicales y que contenga el campo base $F$ debe contener un campo isomorfo a $\bar{F}$ , como $\bar{F}$ contiene, por construcción, todas las posibles expresiones radicales que pueden hacerse a partir de elementos de $F = \Bbb{F}_2(x)$ (o, en todo caso, elementos equivalentes a los mismos).