Raíces cuadradas de $\mathbb R^{2n}$

Question

Recientemente, Richard Dore nos preguntó si $\mathbb R^3$ es el cuadrado cartesiano de algún espacio y Tyler Lawson respondió maravillosamente en negativo.

Los poderes pares de $\mathbb R$ quedaron fuera en esa pregunta porque, bueno, es obvio que son cuadrados. Ahora:

¿Son cuadrados de forma única? En otras palabras, si un espacio $X$ es tal que $X\times X\cong\mathbb R^{2n}$ , debe $X$ sea homeomorfo a $\mathbb R^n$ ?

Se pueden considerar otros valores de $2$ en la pregunta de Richard o aquí, así como buscar factores en lugar de sólo raíces cuadradas (pero si recuerdo bien $\mathbb R^5$ tiene todo lo exótico $\mathbb R^4$ s como factores, por lo que la última variante podría ser "trivial"...)

Answer 1

Estoy bastante seguro de que la respuesta es no proporcionada $n \geq 3$ . Sea $X$ sea el colector de Whitehead: http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_manifold

Es un 3manifold abierto contráctil que no es homeomorfo a $\mathbb R^3$ .

$X^2$ Reclamo es homeomorfo a $\mathbb R^6$ . No tengo una prueba de esto. La idea es que te preguntes si puedes poner un límite a $X^2$ para hacer $X^2$ el interior de un colector compacto con límite. La tesis de Larry Siebenmann dice que si $X^2$ es simplemente conectado en el infinito, estás bien. Pero el grupo fundamental del final de $X^2$ tiene una presentación de la forma $(\pi_1 Y * \pi_1 Y) / <\pi_1 Y^2>$ , donde $*$ denota el producto libre y los paréntesis angulares el "cierre normal", y $\pi_1 Y$ es "el grupo fundamental en el infinito para $X$ ". Así que $\pi_1 X^2$ es el grupo trivial.

Una vez que lo tienes como el interior de un colector compacto con límite, el teorema del h-cobordismo entra en acción y te dice que este colector es $D^6$ .