¿Cómo podemos detectar la existencia de estructuras casi complejas?

Question

Cualquier tipo de suavidad $k$ -manifold $M$ viene con un mapa bien definido $f:M\rightarrow BGL_{k}(\mathbb{R})$ (hasta la homotopía) clasificando su haz tangente. Dado que $GL_{k}(\mathbb{R})$ deformación-retracción en $O_k$ entonces $BGL_{k}(\mathbb{R})\simeq BO_k$ que es una bonita forma (aunque ciertamente exagerada) de demostrar que toda variedad suave admite una métrica riemanniana. Una estructura casi compleja, por otra parte, es equivalente a una reducción del grupo estructural de $GL_{2n}(\mathbb{R})$ a $GL_n(\mathbb{C})$ que es lo mismo que pedir una elevación del mapa clasificador a través de $BU_n\simeq BGL_n(\mathbb{C})\rightarrow BGL_{2n}(\mathbb{R})$ .

¿Podemos detectar la inexistencia de un ascensor utilizando completamente las clases características? Si no es así, ¿qué otra cosa entra en la clasificación?

Me imagino que estos no son suficientes por sí mismos. Sé que $w_{2n}(TM) \equiv_2 c_n(TM)$ por lo que se mantiene en el caso universal $H^\ast(BO_{2n};\mathbb{Z}/2) \rightarrow H^\ast(BU_n;\mathbb{Z}/2)$ . Y ciertamente hay condiciones necesarias como $w_1(TM)=0$ (que por supuesto sólo significa que $TM$ es un haz orientable, que es lo mismo que pedir que $M$ sea una colector orientable). Pero no tengo ni idea de cómo serían las condiciones suficientes. He oído que este problema sí está resuelto. Tal vez haya que hacer algo de gimnasia de clases características y operaciones de cohomología, o tal vez incluso se necesiten clases características extraordinarias. ¿O tal vez hay otro ingrediente en la clasificación?

Editar : Al parecer, me equivoqué de fuente, y esto sólo se sabe de forma estable (lo que tiene sentido, a la luz de la respuesta de Joel y los comentarios de Tom al respecto).

Answer 1

Si $M$ es un $4$ -la existencia de una estructura casi compleja se puede detectar a menudo utilizando el siguiente resultado debido a Wu:

Teorema. A $4$ -manifold $M$ admite una estructura casi compleja $J$ si y sólo si existe $h \in H^2(M, \mathbb{Z})$ tal que $$h^2=3 \sigma(X)+2 \chi(X) \quad \textrm{and} \quad h \equiv w_2(X) \; \; \textrm{mod} \ 2. $$ En este caso $h=c_1(M, J)$ .

Véase Gompf-Stipsicz, 4 manifolds y cálculo de Kirby para más detalles.

Answer 2

Editar: Ahora se ha actualizado para incluir la referencia y un resultado ligeramente más general. Editar 2: Incluye una observación sobre la integrabilidad.

De forma similar a la respuesta de Francesco Polizzi, existe el siguiente Teorema relativo a los 6-manifolds.

Una variedad cerrada orientada de 6 dimensiones $X$ sin 2 torsiones en $H^3(X,\mathbb{Z})$ admite una estructura casi compleja. Existe una correspondencia 1-1 entre las estructuras casi complejas en $X$ y la integral levanta $W \in H^2(X, \mathbb{Z})$ de $w_2(X)$ . Las clases de Chern de la estructura casi compleja correspondiente a $W$ vienen dadas por $c_1 = W$ y $c_2 = (W^2 - p_1(X))/2$ .

De hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de una estructura casi compleja es que $w_2(X)$ mapea a cero bajo el mapa de Bockstein $H^2(X,\mathbb{Z}_2) \to H^3(X,\mathbb{Z})$ .

Creo que la razón de resultados como éste y el mencionado por Francesco es la siguiente. Encontrar una estructura casi compleja equivale a encontrar una sección de un haz sobre $X$ con fibra $F_n=SO(2n)/U(n)$ . Los obstáculos para que esa sección exista residen en los grupos de homología $H^{k+1}(X, \pi_k(F_n))$ . Cuando $n$ es pequeño supongo que podemos calcular estos grupos de homotopía y así tener una buena comprensión de las obstrucciones. Por ejemplo, en el caso mencionado anteriormente, n=3, $F_n = \mathbb{CP}^3$ por lo que el único grupo de homotopía no trivial que nos concierne es $\pi_2 \cong \mathbb{Z}$ . Esto es lo que lleva a la condición necesaria y suficiente anterior relativa a la 2-torsión. Por otra parte, cuando $n$ es grande no sé qué $F_n$ parece, por no hablar de sus grupos de homotopía...

Para la demostración del resultado mencionado, véase el artículo "Cubic forms and complex 3-folds" de Okonek y Van de Ven. (Recomiendo encarecidamente este artículo, está lleno de datos interesantes sobre los casi complejos y los 3 pliegues complejos).

Cabe señalar que en la dimensión real 6 o superior hay ningún obstáculo conocido para la existencia de una estructura compleja integrable . En otras palabras, no hay ningún ejemplo conocido de una variedad de dimensión 6 o superior que tenga una estructura casi compleja, pero no una estructura compleja genuina. Gracias a la clasificación de las superficies complejas compactas, se conocen bien esos 4 manifolds que admiten estructuras complejas integrables.