Estimación de la suma de recíprocos de productos de dos primos

Question

Es bastante conocido que $$ \sum_{p \leq X} \frac{1}{p} \sim \log \log X,$$ donde esto es una suma sobre los primos enteros positivos. ¿Podemos estimar eficientemente la suma $$ \sum_{p,q \leq X} \frac{1}{pq}$$ donde ambos $p,q$ rango sobre primos positivos hasta $X$ ?

Answer 1

$$\sum_{p,q\leq X}\frac{1}{pq}=\sum_{q\leq X}\frac{1}{q}\sum_{p\leq X}\frac{1}{p}=\left(\log\left(\log\left(X\right)\right)\right)^{2}+O\left(\log\left(\log\left(X\right)\right)\right) $$ de $$\sum_{p\leq X}\frac{1}{p}=\log\left(\log\left(X\right)\right)+O\left(1\right).$$ Se puede obtener una mejor aproximación utilizando $$\sum_{p\leq X}\frac{1}{p}=\log\left(\log\left(X\right)\right)+M+O\left(\log^{-1}\left(X\right)\right) $$ donde $M $ es el Constante de Meissel-Mertens .

Answer 2

Una consecuencia fácil del teorema de los números primos es que si la función real F(x) es monótona y está limitada por un polinomio para x suficientemente grande, y S(x) es la suma de F(p) sobre los primos p

Answer 3

(Una consecuencia fácil del teorema de los números primos es que si la función real F(x) es monótona y está limitada por un polinomio para x grande, y si S(x) es la suma de F(p) sobre los primos p menores que x, entonces S(x) es asintótica a la integral de F(y)/log y , desde y=2 hasta y=x. También se extiende fácilmente a funciones de más de una variable. Integrando F(y,z)/(log y . log z) de y y z cada uno de 2 a x se obtiene el cuadrado de log(log x), con una precisión de una constante, que es su respuesta.