¿Cómo encontrar los puntos de una curva cuya línea tangente pasa por un punto determinado?

Question

Ahora tenemos una curva compacta simple y lisa en $\Bbb R^2$ y se conoce la caja delimitadora de la curva. Pero el la curva está dada implícitamente mediante una función de distancia con signo $f(x, y)$ . Tenga en cuenta que no tienen una fórmula global para $f(x, y)$ pero podemos tomar una muestra $f(x, y)$ en puntos arbitrarios.

La definición de la función de distancia con signo se puede encontrar aquí

La pregunta es: Dado un punto $P$ ¿cómo podemos encontrar todos los puntos de la curva cuya línea tangente pasa por $P$ . ¿Puede darme un algoritmo para este proceso?

He aquí una ilustración.

Puntos de la curva roja cuya línea tangente pasa por $P$ son $A, B, C, D$ .

Answer 1

Ideas demasiado largas para un comentario.

Estás asumiendo que la función de distancia con signo calcula realmente la distancia a una curva suave (ya que topológicamente esa curva es su propio límite). Si leo correctamente la definición enlazada, la función de diferencia con signo siempre será no negativa (ya que la curva como conjunto tiene el interior vacío y es todo frontera).

Muestrear el cuadro delimitador hasta encontrar un punto donde la función de distancia sea 0 (o dentro de $\epsilon$ de $0$ ). Entonces, al tomar muestras cerca de ese punto para más puntos de la curva, se puede trazar esencialmente la curva como una secuencia de puntos cercanos entre sí a una distancia cercana a $0$ .

Con esos datos se pueden calcular las pendientes de las secantes cortas y buscar las líneas que pasan por $P$ .

Que esto sea numéricamente estable o eficiente depende de la complejidad de la curva. Tendrá problemas si se auto interseca.