[Verificación]Sea H un subgrupo de G y $N = \bigcap_{x\in G} xHx^{-1}$ . Demuestra que N es un subgrupo de G y que $aNa^{-1} = N$ para todos $a \in G$

Question

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ y $$N = \bigcap_{x\in G} xHx^{-1}$$ . Demostrar que $N$ es un subgrupo de $G$ y que $aNa^{-1} = N$ para todos $a \in G$ .

Prueba:

$1 = x1x^{-1}$ para todos $x \in G$ . Por lo tanto, $1 \in N$ . Para todos los $xhx^{-1} \in xHx^{-1}$ , $(xhx^{-1})^{-1} = xhx^{-1} \in xHx^{-1}$ . Por lo tanto, para todos los $y \in N, y^{-1} \in N$ . Para todos los $x, y \in N, x = x_1h_1x_1^{-1} = x_2h_2x_2^{-1} = ...$ y y = $x_1h'_1x_1^{-1} = x_2h'_2x_2^{-1} = ... \in N$ . Por lo tanto, $xy =x_1h_1h'_1x_1^{-1} = x_2h_2h'_2x_2^{-1} = ... \in N$ . Por lo tanto, N es un subgrupo de G.

Para demostrar que $aNa^{-1} = N$ . Primero demuestre que $xHx^{-1}$ es también un subgrupo. Entonces, para todo $y \in N$ , $y = x_1h_1x_1^{-1} = x_2h_2x_2^{-1} = ...$ . Tenga en cuenta que $ax_1 \neq ax_2 \neq ax_3 \neq ...$ , si no $x_i = x_j$ por la ley de anulación. Definir una función $f := x \to ax$ . Es obvio que esta función es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, $|x| = |ax|$ y cada $xH(x)^{-1}, x\in G $ debe contener $(ax_i)H(ax_i)^{-1}$ para algunos $i \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, y está en la intersección de todos los $xHx^{-1}, x\in G$ . Por lo tanto, $aNa^{-1} = N$ .

Answer 1

Una pista: Para cada $x \in G, xHx^{-1}$ es un subgrupo de $G.$ Ahora demuestre que la intersección de (cualquier número de) subgrupos es de nuevo un subgrupo de $G.$ Esto demostrará que $N$ es un subgrupo de $G.$ Arreglar $a \in G.$ Ahora define una función $f: G \to G, x \mapsto ax.$ Esto es una biyección. Por lo tanto, $\{xHx^{-1}: x \in G \} = \{(ax)H(ax)^{-1} : x \in G \}.$

Nota: Esta prueba es esencialmente la que has escrito en la pregunta. La reescribo para evitar alguna confusión (que la había). Tu idea era correcta, pero necesitaba una pequeña argumentación para aclarar algunos puntos.