¿Existe una curva elíptica $E$ tal que $\#E(\Bbb{F}_{q^2})=(q+1)^2$ para todo el primer potencias $q$?

Question

El siguiente (parafraseado) la pregunta es una tarea de ejercicio para un curso sobre curvas elípticas:

Deje $p\not\equiv1\pmod{12}$ ser un número primo y deje $q=p^k$. Mostrar que existe una curva elíptica $E$ tal que $\#E(\Bbb{F}_{q^2})=(q+1)^2$.

Esto no es muy difícil de demostrar. Si $k$ es impar, por $p\equiv2\pmod3$ la curva dada por $y^2-y=x^3$ va a hacer, y para $p\equiv3\pmod4$ la curva dada por $y^2=x^3-x$ va a hacer. Para$k$, incluso, su cuadrática giros va a hacer. El caso de $p\equiv1\pmod{12}$ parece ser la más difícil; no tengo una prueba. Por suerte esto no es parte de mi tarea. Pero mi pregunta es, tampoco es parte de la tarea, podemos cambiar el orden de los cuantificadores? Es decir:

¿Existe una curva elíptica $E$ tal que $\#E(\Bbb{F}_{q^2})=(q+1)^2$ para todo el primer potencias $q$?

O, más modestamente, para todos el primer potencias $q=p^k$$p\not\equiv1\pmod{12}$? Desgraciadamente, las dos curvas anteriores no son isomorfos. De lo contrario, no tengo la menor idea de dónde buscar dicha curva, o si siquiera existe. Cualquier idea es bienvenida.

Answer 1

Digamos que estamos hablando de una curva elíptica $E$$\mathbb Q$. Deje $\alpha_p$ $\beta_p$ ser el Frobenius autovalores en un primer $p$ de buena reducción (por lo $X^2 - a_p X + p = (X - \alpha_p)(X-\beta_p)$).

A continuación, $$| E(\mathbb F_{p^2}) | = p^2 + 1 - \alpha_p^2 - \beta_p^2 = (1+p)^2 - (\alpha_p + \beta_p)^2 = (1 + p)^2 - a_p^2.$ $ Así que usted está preguntando si puede tener $a_p = 0$ para todos los números primos de buena reducción.

La respuesta es no.

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Si $E$ CM (como en los dos ejemplos), a continuación, $a_p = 0$ para una densidad de $1/2$ conjunto de los números primos.

Si $E$ no tiene CM, a continuación, $a_p = 0$ para una densidad de $0$ conjunto de los números primos. (La distribución precisa de los valores de $a_p$ $p$ varía es el tema de la Sato--Tate conjetura, que es ahora un teorema de muchas personas.)

Answer 2

Matt E la respuesta de los usos $q=p$, $p$ variable. Voy a dar un argumento usando$q=p^k$, $p$ fijo.

Revisión de un primer $p$, y deje $E/\mathbb{F}_{p^2}$ ser una curva elíptica tal que $\#E(\mathbb{F}_{p^{2k}})=(p^k+1)^2$ todos los $k\geq 1$. Podemos calcular la función zeta de $E$: \begin{eqnarray*} Z_E(t)&=&\exp\left(\sum_{k\geq 1}\frac{p^{2k}+2p^k+1}{k}t^k\right)\\ &=&\exp\left(\log\frac{1}{1-p^2t}+2\log\frac{1}{1-pt}+\log\frac{1}{1-t}\right)\\ &=&\frac{1}{(1-p^2t)(1-pt)^2(1-t)}. \end{eqnarray*} Esto viola la hipótesis de Riemann para finito de campos (en realidad, un teorema), lo que implica que las raíces del denominador de $Z_E(t)$ debe tener valor absoluto $1$ o $1/p^2$.

Estoy confundido, porque suena como usted encuentra un ejemplo de una curva con esta propiedad.

Edit: parece Que la curva que escribió usted ha $\#E(\mathbb{F}_{p^{2k}})=(p^k+1)^2$ $k$ extraño, pero no por $k$ incluso, por lo que no hay ninguna incoherencia. Mi argumento muestra que no hay curva de $E/\mathbb{F}_{p^2}$ $\#E(\mathbb{F}_{p^{2k}})=(p^k+1)^2$ todos los $k$.

También, en lo que respecta a mi expresión para la función zeta: para cualquier curva de $C/\mathbb{F}_q$, no hay una igualdad de poder formal de la serie $$ \sum_{D\geq 0}t^{\° D}=\exp\left(\sum_{m\geq 1}\frac{\#C(\mathbb{F}_{q^m})}{m}t^m\right), $$ donde la suma de la izquierda es más eficaz divisores $D$ $C$ que se definen en $\mathbb{F}_q$. Uno a veces ve el lado derecho como la definición de $Z_C(t)$. No es demasiado difícil para comprobar que estas dos expresiones son iguales.