Un libro de cálculo realmente complicado

Question

He sido el estudio de las matemáticas como un hobby, sólo por diversión por años, y yo tenía mi meta para entender casi todo buen libro de texto de pregrado y creo que, por fin llegué. Así que ahora necesito otro objetivo. Sólo he encontrado un muy buen libro /S. Ramanan – Global Cálculo/ de los "Estudios de Graduado en Matemáticas" de la serie y parece casi increíble:

• Poleas y presheaves
• Diferencial de colectores
• Mentira grupos
• Operadores diferenciales
• Tensor de campos
• Gavilla cohomology
• Lineal conexiones
• Complejos colectores de
• Ricci tensor de curvatura
• Elíptica operadores

Pero es sólo 316 páginas y no parecía muy fundamental y detallada para mí (pero sí, es todavía grande). Así que aquí está mi pregunta: ¿qué enorme complicado cálculo de los libros de texto como este ¿sabe usted que yo debería apuntar a entender? La Gran Espeluznante Libros, ya lo sabes :) estoy muy interesado en la algebraica y la geometría diferencial, la general y la topología algebraica, la Mentira grupos y álgebras, pseudo - y operadores diferenciales. No sé mucho acerca de todo esto, pero estoy tratando muy duro de hacer, es tan emocionante! ;)

Ya he cubierto:

• Álgebra: Capítulo 0 (Estudios de Graduado en Matemáticas) por Paolo Aluffi
• Un Curso de Álgebra (Estudios de Posgrado en Matemáticas, Vol. 56) por E. B. Vinberg
• Álgebra lineal y Geometría (Álgebra, Lógica y Aplicaciones) por P. K. Suetin, Alexandra I. Kostrikin y Yu me Manin
• Topología de la Diferenciable punto de vista de John Willard Milnor
• La topología y la Geometría de los Físicos por Charles Nash y Siddhartha Sen
• Análisis matemático I y II por V. A. Zorich y R. Cooke
• Análisis complejo de Serge Lang
• Ecuaciones Diferenciales ordinarias por Vladimir I. Arnold y R. Cooke
• La Geometría diferencial, la Mentira Grupos, Simétrica y Espacios (con Estudios de Postgrado en Matemáticas) por Sigurdur Helgason

Así que estoy buscando algo como Ramanan del libro, pero tal vez más detallada y fundamental.

Answer 1

Como una cura para su deseo le recomiendo un par de páginas por día de Madsen y Tornehave del De Cálculo para Cohomology.
El libro comienza en el nivel de cálculo avanzado y presenta un sorprendente conjunto de conceptos y resultados: de Rham cohomology, el grado de Poincaré-Hopf teorema, característico de las clases, Thom isomorfismo, Gauss-Bonnet teorema,...

El estilo es austero pero muy honesto: ninguno de los odiosa "es fácil ver" o "deja como ejercicio para el lector" aquí!
Por el contrario, usted encontrará algunas muy explícito cálculos rara vez se hace en otros lugares : por ejemplo buscar en páginas 74-75, donde los autores de manera muy explícita analizar la tangente paquetes y algunas formas diferenciales en espacios numéricos $\mathbb R^n$, esferas $S^{n-1}$ y espacios proyectivos $\mathbb R\mathbb P^{n-1}$.

En definitiva, un extraordinario libro que debería hacer un llamamiento a usted por su énfasis en la topología algebraica hecho con el cálculo de herramientas .

Answer 2

Es obvio "miedo el libro" de operadores diferenciados parciales lineares (y operadores de seudodiferencial operadores integrales de Fourier y teoría de distribución y...)

1-4, de Hörmander, Lars, análisis de operadores diferenciados parciales lineares, Springer Verlag.

Answer 3

Otro ambicioso libro es Raghavan Narasimhan del Análisis real y Complejo de Colectores
Consta de tres capítulos.
El capítulo 2 contiene más o menos estándar de material en reales y complejos colectores, pero los otros dos capítulos son bastante inusuales:

El capítulo 1 contiene un duro análisis sobre $\mathbb R^n$.
Usted encontrará que hay algunos resultados clásicos como Adrs del teorema pero también difíciles de los resultados como del teorema de Borel, según el cual existe un suave (en general, no analítica) funcionan con cualquier conjunto prescrito de coeficientes como de su desarrollo de Taylor en el origen.
En otras palabras, los morfismos de $\mathbb R$-álgebras de $ C^\infty(\mathbb R^n) \to \mathbb R[[x_1,...,X_n]]$ de las funciones lisas para poder formal de la serie dada por la fórmula de Taylor es surjective .
El capítulo también contiene teoremas de Whitney aproximación suave funciones analíticas: estos resultados son muy rara vez se presentan en los libros.

El capítulo 3 está dedicado a lineal, elíptica operadores diferenciales.
Como una aplicación de la teoría, Narasimhan demuestra Behnke-Stein teorema (es el último resultado del libro), según la cual todos los no-compactos conectado superficie de Riemann es Stein.

Este es un difícil pero gran libro de un gran matemático.

Answer 4

El volumen cinco de Spivak debe mantener ocupado durante un tiempo.

Answer 5

Trate de Jean Dieudonné, Tratado en los análisis, 9 volúmenes.