Elige un punto al azar en el triángulo con vértices (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), ¿cuál es la distribución de probabilidad de la coordenada x?

Question

Diagrama del triángulo . Mi intento:

Para $f(x) = 0$ para $x < 0$ o $x > 1$ .

Para $x = 0$ , $f(x) = \sqrt{2}$ (la longitud del $y-z$ lado). Para $x = 1$ , $f(x) = 0$ . Así que cuando $0 \leq x \leq 1$ , $f(x) = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}$ .

Sin embargo, no estoy convencido de que esto sea correcto porque a partir del diagrama me parece que $P(0.49\leq x \leq0.5)$ debe ser el mismo que $P(0.79\leq x \leq 0.8)$ por ejemplo.

Answer 1

Su triángulo espacial se proyecta con un escalado de área constante al triángulo $$T:=\bigl\{(x,y)\>\bigm|\>0\leq x\leq 1, \ 0\leq y\le 1-x\bigr\}$$ en el $(x,y)$ -plano. La probabilidad de que un punto aleatorio $(X,Y,Z)\in T$ satisface $$X\leq x\qquad(0\leq x\leq 1)$$ por lo tanto, viene dada por $$P(X\leq x)={\int_0^x(1-t)\>dt\over {\rm area}(T)}=2x-x^2\qquad(0\leq x\leq1)\ .$$ La densidad de probabilidad $f_X$ por lo tanto, viene dada por $$f_X(x)=0 \quad \bigl(x\notin[0,1]\bigr), \qquad f_X(x)={d\over dx}P(X\leq x)=2-2x \quad (0\leq x\leq1)\ .$$

Answer 2

Dejemos que $A = (1,0,0)$ , $B = (0,1,0)$ y $C = (0,0,1)$ .

Para cualquier $\eta \in [0,1]$ , dejemos que $B'$ y $C'$ sea la intersección de el plano $x = \eta$ con $AB$ y $AC$ . Es fácil ver $B' = (\eta,1-\eta,0)$ y $C' = (\eta,0,1-\eta)$ .

Para que un punto aleatorio muestreado uniformemente $P = (X,Y,Z)$ en $\triangle ABC$ tener $X \ge \eta$ , $P$ necesitan pertenecer a $\triangle AB'C'$ . Desde $\triangle AB'C'$ es una versión reducida de $\triangle ABC$ para un factor $1-\eta$ . Su superficie es $(1-\eta)^2$ de la de $\triangle ABC$ .

Desde $P$ se muestrea uniformemente sobre $\triangle ABC$ la probabilidad del evento $X \ge \eta$ es proporcional al área de $\triangle AB'C'$ . es decir

$$\begin{align} & {\bf P}[X \ge \eta] = (1-\eta)^2\\ \implies & {\bf P}[X \le \eta] = 1 - {\bf P}[X > \eta] = 1 - {\bf P}[X \ge \eta] = 2\eta - \eta\end{align}$$

El función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria $X$ es la derivada del función de distribución acumulativa ${\bf P}[X \ge \eta]$ . Viene dada por la expresión:

$$\verb/PDF/(x) = \left.\frac{d}{d\eta}{\bf P}[X \ge \eta ]\right|_{\eta = x} = 2(1-x)$$

Como resultado, la distribución de $x$ -coordenadas es un distribución triangular .

La relación para las probabilidades de $0.49 \le X \le 0.5$ frente a $0.79 \le X \le 0.8$ será aproximadamente $$(1-0.5) : (1-0.8) = 0.5 : 0.2 = 2.5$$ Como se puede ver, esto está muy cerca de la proporción exacta: $${\bf P}[0.49 \le x \le 0.5] : {\bf P}[0.79 \le x \le 0.8] = 0.0101 : 0.0041 = 2.\overline{46341}$$

Answer 3

Te has encontrado con un problema similar a la paradoja de Bertrand y citando a la wikipedia "si, y sólo si, se especifica el método de selección aleatoria, el problema tiene una solución bien definida". La distribución uniforme de una variable (un punto) sobre el plano bidimensional en el que se encuentra el triángulo permite una proyección al plano XY- o XZ- y a partir de ahí $PDF(x)=2-2x$ cuando $x \in [0,1]$ tiene un sentido intuitivo, mientras que Su intento es la respuesta si cada coordenada es una variable con $Uniform(0,1)$ distribución. La pregunta entonces sería probablemente "elija un punto al azar en un cubo, cuál es el pdf(x) de los puntos que satisfacen la ecuación de este triángulo".