Ideal máximo y primo en un anillo finito

Question

Supongamos que $R$ es un anillo finito con $1$ ¿Podemos demostrar que los números del ideal máximo y del ideal primo son iguales?

Answer 1

Sí: todo ideal maximal es primo, y en un anillo finito todo ideal primo es maximal.

Prueba de la primera afirmación: sea $M$ sea máxima y $A,B$ sean ideales tales que $AB\subseteq M$ . Si $A$ no está contenida en $M$ entonces $A+M=R$ . Multiplicando por $B$ a la derecha, $AB+MB=B$ . El lado izquierdo es un subconjunto de $M$ Así que $B \subseteq M$ .

Prof de la segunda reclamación: $R/P$ es un anillo primo. Si es finito, es artiniano, y por tanto simple por el teorema de Artin-Wedderburn. Así pues, $P$ también es máxima.

Answer 2

Dejemos que $R$ sea conmutativo. Sabemos que cualquier ideal maximal es primo. A la inversa, para cualquier ideal primo $P$ de $R$ el anillo de cociente $R/P$ es un dominio integral finito, por tanto un campo. Así, en los anillos finitos conmutativos, los ideales primos coinciden con los ideales máximos.

Para un anillo no conmutativo, el argumento anterior no funciona.