La ley de Gauss para dos cargas puntuales y un factor de $4\pi$

Question

Cuando modelamos el campo eléctrico como algo que representa el "flujo" de algo que es conservado podemos demostrar que el flujo debido a una sola carga puntual, a través de la siguiente superficie,

Flujo a través de una superficie radial

es efectivamente cero. Y por lo tanto probar (casi) que el flujo a través de todo tipo de superficies que no incluyen una carga es cero. Pero cuando tenemos una carga, realizamos un truco inteligente, encerramos la carga con otra superficie, de la siguiente manera,

Flujo debido a la carga puntual

y por lo tanto demostrar que el flujo a través de la superficie requerida es igual al flujo a través de la pequeña superficie que encierra la carga. Por lo tanto,

$$ \int_S \mathbf E . \mathbf {ds} = \dfrac{q}{4\pi \epsilon r^2} (4\pi r^2) \\ \int_S \mathbf E . \mathbf {ds} = \dfrac{q}{ \epsilon} $$

Este "truco" fue posible, sólo porque, teníamos una carga puntual y el campo era radialmente hacia afuera. Así que mi pregunta es, ¿cómo somos capaces de generalizar que el flujo a través de cualquier superficie es igual a esta fracción $\dfrac{q}{\epsilon}$ ? ¿Y si tuviéramos dos cargas puntuales en lugar de una? $4\pi r^2$ término. Esto nos lleva de nuevo a una pregunta: ¿por qué, en primer lugar, hay un $4\pi$ en la ley de Coulomb?

P.D: Soy relativamente nuevo en el tema, así que se me escapa algo obvio.Y no pude elegir un título adecuado para la pregunta:|

Answer 1

¿Por qué se cumple la ley de Gauss (en forma integral) para cualquier superficie cerrada? Una forma de verlo es que simplemente se cumple: es una de las ecuaciones de Maxwell, y no hay que "demostrarla". En otras palabras, hay pruebas experimentales al respecto. Mucha gente encuentra más natural expresarla en la forma diferencial ( $\vec{\nabla}·\vec{E} = \rho/\epsilon_0$ ), que es equivalente a la forma integral (mediante el teorema de la divergencia) pero no se refiere a una superficie concreta. La ley de Gauss puede ser motivada por la ley de Coulomb, o incluso derivada de ella en la electrostática, pero la ley de Gauss es más fundamental en el sentido de que se mantiene en la electrodinámica mientras que la ley de Coulomb no.

Aquí hay una derivación algo perezosa de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb utilizando el teorema de la divergencia que también ilustra cómo $4\pi$ se produce. En general se sale de las matemáticas cuando se trata de situaciones de simetría esférica.

De la ley de Coulomb, $$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint\limits_\infty dV' \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3}.$$ Considere una región $V$ delimitada por la superficie cerrada $\partial V$ . Entonces,

$$ \iint\limits_{\partial V}{\vec{E}(\vec{r})} · d\vec{S} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint\limits_{\partial V}{ \iiint\limits_\infty dV' \rho(\vec{r}') \frac{(\vec{r} - \vec{r}')·d\vec{S}}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3} }.$$

Cambiando el orden de las integrales (que no intentaré justificar), $$ \iint\limits_{\partial V}{\vec{E}(\vec{r})} · d\vec{S} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint\limits_{\infty}{ dV' \rho(\vec{r}') \iint\limits_{\partial V} { \frac{(\vec{r} - \vec{r}')·d\vec{S}}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3} } }$$

Consideremos ahora la integral $$ I(\vec{r}') = \iint\limits_{\partial V} { \frac{(\vec{r} - \vec{r}')·d\vec{S}}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3}} .$$ Supongamos que $\vec{r}'$ no está encerrado en $\partial V$ para que el denominador sea siempre distinto de cero y el integrando esté siempre bien definido. Por el teorema de la divergencia, $$ I(\vec{r}') = \iiint\limits_V {dV \vec{\nabla} · \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3}} . $$ Es un cálculo sencillo demostrar que la divergencia en el integrando desaparece, por lo tanto $I = 0$ .

Si por el contrario $\partial V$ encierra $\vec{r}'$ , dejemos que $S_\delta$ sea una esfera de radio $\delta$ centrado en $\vec{r}'$ y contenida en $\partial V$ . Sea $V - S_\delta$ sea el subconjunto de $V$ en el exterior $S_\delta$ , $\partial(V - S_\delta)$ el límite cerrado de esta región y $\partial S_\delta$ el límite esférico de $S_\delta$ . Podemos escribir $$ I(\vec{r}') = \iint\limits_{\partial(V - S_\delta)} { \frac{(\vec{r} - \vec{r}')·d\vec{S}}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3}} + \iint\limits_{\partial S_\delta} { \frac{(\vec{r} - \vec{r}')·d\vec{S}}{\lVert \vec{r} - \vec{r}' \rVert^3}}. $$ La primera integral es cero por la misma razón que antes: la divergencia del integrando desaparece en todas partes. La segunda integral puede evaluarse ahora fácilmente utilizando la simetría esférica para obtener

$$ I(\vec{r}') = \frac{\delta\times4\pi\delta^2}{\delta^3} = 4\pi.$$ Aquí es donde el factor de $4\pi$ viene de. Así,

$$ \iint\limits_{\partial V}{\vec{E}(\vec{r})} · d\vec{S} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint\limits_{\infty}{ dV' \rho(\vec{r}') I(\vec{r}) } = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint\limits_{V}{ dV' \rho(\vec{r}') } = \frac{Q}{\epsilon_0} $$ donde la segunda igualdad utiliza el hecho de que el $I(\vec{r}')$ es distinto de cero si y sólo si $V$ contiene $\vec{r}'$ .

Answer 2

El punto clave del argumento es que el red no depende de la forma de la superficie que encierra las cargas. Este es un argumento físico, no matemático.

Por lo tanto, si tienes un flujo neto a través de una pequeña superficie esférica, y esta pequeña superficie está dentro de una caja, entonces el flujo neto a través de la caja es el mismo que el flujo a través de la superficie esférica (excluyendo fuentes o sumideros en otras partes de la caja), simplemente porque cada línea de campo que escapa de la esfera también debe escapar de la caja.

Ahora bien, si se calculara el flujo a través de los lados de una caja en lugar de una esfera, el flujo NO sería uniforme a través de cada elemento de la superficie de los lados. Por lo tanto, la integral $$ \int \vec E\cdot d\vec S $$ es pas fácil de evaluar porque, como $\vec E$ no es constante sobre la superficie, y porque el ángulo entre $\vec E$ y $d\vec S$ no es constante sobre la superficie; de hecho esta integral no es igual a $\vert \vec E\vert S$ por lo que no hay $4\pi$ factor en primer lugar (que $\vert \vec E\vert$ que utilizarías de todas formas, ya que no es constante sobre la superficie). Usted todavía sabría el flujo neto - que *debe* ser $q/\epsilon_0$ - pero no puedes decir nada más.

Esto se debe contrastar con la superficie esférica. Por simetría, el campo tiene constante magnitud en la superficie y también debe apuntar a todas partes radialmente. Así, para ce superficie y esta superficie sólo , \begin{align} \int \vec E\cdot d\vec S = \int \vert \vec E\vert dS = \vert \vec E\vert \int dS =4\pi r^2 \vert \vec E\vert \end{align} donde, al pasar de la segunda a la tercera integral, la observación de que $\vert \vec E\vert$ es constante en la superficie se ha utilizado para sacarla de la integral.

En pocas palabras, el cálculo del flujo por integración sólo puede hacerse en casos muy simétricos en los que $\vert \vec E\vert$ es constante en la superficie, pero el red no depende de esta simetría porque físicamente es una función sólo de fuentes y sumideros dentro de la superficie gaussiana. Así, para calcular el flujo neto se elige una (o más) superficie conveniente para evaluar la integral, y luego se invoca la física para extenderla a cualquier superficie que encierre las cargas.

Answer 3

Poner una carga puntual dentro de una superficie de cualquier forma (o tamaño). Considera un cono delgado que se extiende desde la carga. Cuando el cono se cruza con la superficie, el área de la superficie está representada por un vector que apunta hacia afuera. El flujo asociado se define como el producto punto del campo E por el vector superficie. Queremos la componente del campo que atraviesa el área, pero eso también puede interpretarse como el uso de la componente del vector área que es paralela al campo. Esta componente del área aumenta con el cuadrado de la distancia a medida que nos desplazamos a lo largo del cono, y el campo disminuye con el cuadrado de la distancia. El flujo que sale a través del cono es una constante. Si se combinan todos los conos que salen de la carga, se obtiene un flujo total constante, que es independiente del tamaño o la forma de la superficie circundante. Elija una superficie de radio constante, y el flujo se convierte en E(4pi R^2). Cada carga adicional contribuye con su propio flujo.