La continuación analítica de la función zeta de Riemann no depende en absoluto de conocer la ecuación funcional. Se puede hacer, y motivar, de forma mucho más sencilla.
Consideremos la función zeta de Hurwitz, $\zeta(s, q) = \sum_{n = 0}^{\infty} (q + n)^{-s}$ . La función zeta de Riemann es, por supuesto, la $q = 1$ caso de esto.
En realidad, será un poco más conveniente trabajar con las funciones relacionadas $F_s(q) = -s \sum_{n = 0}^{\infty} (q + n)^{-s - 1} = -s\zeta(s + 1, q) = \frac{d}{dq} \zeta(s, q)$ . Claramente, una vez que conocemos todas las funciones $F_s$ podemos recuperar $\zeta(s, q)$ como $-F_{s - 1}(q)/(s - 1)$ .
La serie que define $F_s$ converge para $\Re(s) > 0$ Por lo tanto, no hay ninguna dificultad para interpretar las cosas en ese régimen. ¿Cómo podemos ampliar a más $s$ ?
Tenga en cuenta, en primer lugar, que $\frac{d}{dq} F_s(q) = -s F_{s + 1}(q)$ . Esto determina $F_s$ hasta una constante aditiva una vez que ya sabemos $F_{s + 1}$ .
Pero, ¿cómo determinamos la constante aditiva? Pues bien, como $F_s = \frac{d}{dq} \zeta(s, q)$ el valor medio de $F_s$ en cualquier intervalo de unidades de $q$ a $q + 1$ es ser $\zeta(s, q + 1) - \zeta(s, q) = -q^{-s}$ . Por lo tanto, simplemente elegimos la única constante aditiva que hace que esto sea cierto.
De este modo, podemos determinar cada $F_s$ de $F_{s + 1}$ . Iterando de esta manera a partir del $\Re(s) > 0$ régimen, encontramos que $F_s$ se ha definido para todos los $s$ . Y por lo tanto también la función zeta de Hurwitz $\zeta(s, q)$ y, por tanto, también la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ .
Es así de sencillo.
Obsérvese también que esencialmente la misma idea utilizada aquí puede darnos también la función gamma (de hecho, la segunda derivada del logaritmo de la función gamma es $\zeta(2, q)$ ).
De forma más general, siempre que tengamos una condición "El valor medio de $F$ en el rango de $q$ a $q + 1$ es $-f(q)$ ", existe a lo sumo una solución con la propiedad de que una derivada suficientemente alta de la misma desaparece en el límite al traducirse su entrada por adición de un número natural grande (técnicamente, lo que entiendo por un $N$ -La derivada de orden 0 que desaparece asintóticamente es que su integral sobre cualquier tamaño fijo $N$ -desaparece asintóticamente al trasladar la caja. Es decir, técnicamente lo que estoy diciendo aquí es en realidad una afirmación sobre diferencias finitas y no sobre tasas de cambio infinitesimales per se). Esta solución existe sólo en el caso de que al aplicar un número suficiente de diferenciaciones (técnicamente, diferencias finitas) a $f$ hace que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} f^{(m)}(q + n)$ convergen, en cuyo caso la solución para $F$ viene dada por la toma de esta última función de $q$ y volver a integrarse $m - 1$ veces con la elección adecuada de las constantes aditivas en cada etapa.
