Aclaración sobre un lema del álgebra C* de operadores compactos de Davidson

Question

Tengo problemas para entender el siguiente lema de "C*-Algebra by Examples", el libro de Kenneth R. Davidson

Estoy leyendo esto por mi cuenta. Estoy atascado aquí durante mucho tiempo. Aquí está mi confusión:

1. ¿Qué es una subálgebra C*- irreducible? (Hasta ahora en el libro se ha utilizado "irreducible" en el contexto de las representaciones)
2. En la prueba, ¿qué significa la "dimensión adecuada" de $\mathcal H$ ? ¿No está ya determinado por la declaración dada.
3. En la prueba, el vector unitario " $e$ " que supongo que es un elemento de $\mathfrak A$ . No estoy seguro de si eso está bien, ya que $Ae=x\in \mathcal H$ y
   $Be=y\in \mathcal H$ No puedo entender cómo es posible.
4. Elegimos $x,y\in \mathcal H$ pero ¿cuál es el significado de $y^*$ ¿entonces?

No estoy seguro de si hay algún error tipográfico en la prueba. Por favor, ayúdenme a entender esto. Si usted puede sugerir alguna referencia donde se discute este tema que sería beneficioso también.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

1. $\mathcal{A} \subseteq B(H)$ Así que toma la inclusión natural $\mathcal{A} \to B(H)$ para ser la representación.

2. "Dimensión apropiada", en la prueba, está manejando subálgebras irreducibles de $K(H)$ para cualquier dimensión posible de $H$ (separable). Creo que sólo quiere destacar que no se limita, por ejemplo, a $H$ siendo de dimensión infinita.

3. $e \notin \mathcal{A}$ . $E \in \mathcal{A} \subseteq B(H)$ es una proyección de rango 1, por lo que $e \in H$ es un vector unitario en el rango de $E$ (que se determina de forma única hasta un número complejo de módulo 1).

4. $y^*$ es la función lineal sobre $H$ definido por $y^*(h) = \langle h,y\rangle$ es decir, el producto interior.