Número de particiones de un conjunto en subconjuntos de cardinalidad $k$ .

Question

Supongo que esta pregunta ya se ha hecho, pero no la he encontrado. Supongamos que tenemos un conjunto $A$ con $nk$ elementos. ¿Cuántas particiones de este conjunto en conjuntos de k elementos hay? Para $n=k=2$ Hay tres:

$\{\{\{1,2\}, \{3,4\}\}, \{\{1,3\}, \{2,4\}\}, \{\{1,4\},\{2,3\}\}$

NOTA: El caso $n=2$ se resuelve aquí: Contar el número de particiones que tienen bloques de cardinalidad 2 y elementos no distintos

Answer 1

Una forma de solucionarlo: primero poner todos los $nk$ elementos en orden: hay $(nk)!$ formas. Ahora córtalos en bloques de $k$ y tienes una partición. Cada bloque puede ser reordenado en $k!$ maneras, entonces los bloques pueden ser puestos en orden en $n!$ maneras. En total, hemos $\frac{(nk)!}{(k!)^nn!}$ formas de hacer la partición.

Otra forma es decir que hay ${nk \choose k}$ formas de conseguir la primera partición, ${(n-1)k \choose k}$ para obtener el segundo, y así sucesivamente. De nuevo puedes elegir las particiones en $n!$ pedidos. Esto le da la misma respuesta.