He estado mirando varios posts de mathoverflow, especialmente estos https://mathoverflow.net/questions/32720/non-borel-sets-without-axiom-of-choice , https://mathoverflow.net/questions/73902/axiom-of-choice-and-non-measurable-set y todavía hay muchas preguntas que me gustaría hacer:
1) Según la primera respuesta del primer post "Es consistente con ZF sin elección que los reales sean la unión contable de conjuntos contables" (y por lo tanto todos los conjuntos son borel, y por lo tanto medibles), sin embargo esto parece contrastar con la respuesta del segundo post que afirma que "la existencia de un conjunto medible no Lebesgue no implica el axioma de elección" (y por lo tanto es posible construir un modelo ZF sin elección donde exista un conjunto medible no Lebesgue). ¿Cómo pueden ser correctas estas dos afirmaciones?
2) No puedo entender por qué el axioma de elección (contable) es necesario para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es contable. Al decir que los conjuntos son contables, ya he asumido la existencia de una biyección de cada conjunto al conjunto de los números naturales, es decir, he indexado los elementos de cada conjunto. Entonces, ¿cuál es el problema de elegir los elementos de cada conjunto? Esto se relaciona con el tema anterior en el sentido de que si la CA no fuera necesaria para demostrar que la unión contable de conjuntos contables es contable, entonces "Es consistente con ZF sin elección que los reales son la unión contable de conjuntos contables" ya no puede ser correcto, ya que esto implicaría que en ZF sin elección los reales son contables.
Sólo soy un estudiante de tercer año de matemáticas sin formación en teoría de conjuntos (sólo ingenua), así que por favor, disculpen la ignorancia. Espero que alguien pueda responderme, ¡gracias!
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Me alegra ver que tu pregunta se ha resuelto y que has obtenido unas respuestas maravillosas aquí. Para este tipo de preguntas, math.SE es más adecuado que MO.
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Sí, ¡y gracias por redirigirme! Sospecho que utilizaré mucho este sitio web en el futuro...
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Creo que esta pregunta es en realidad 2 preguntas una de las cuales es un duplicado de la pregunta en math.stackexchange.com/questions/1935724/ .
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La cuestión de la unión contable de conjuntos contables ha surgido en varias ocasiones en este sitio. Dado que $F$ es una familia contable no vacía y que para cada $f\in F$ el conjunto $B(f)$ de biyecciones de $f$ a $\Bbb N$ no está vacío, la "elección" de los elementos de $ \cup F$ (para demostrar que $\cup F$ es contable) requiere una función de elección $C:F\to \cup_{f\in F}B(f)$ donde $C(f)\in B(f)$ para todos $f,$ que es donde se necesita la elección contable.... Cuando intentas definir "elegir" en el lenguaje de la teoría de conjuntos (también conocido como Lost) ves la dificultad.