Axioma de elección, conjuntos no medibles, uniones contables

Question

He estado mirando varios posts de mathoverflow, especialmente estos https://mathoverflow.net/questions/32720/non-borel-sets-without-axiom-of-choice , https://mathoverflow.net/questions/73902/axiom-of-choice-and-non-measurable-set y todavía hay muchas preguntas que me gustaría hacer:

1) Según la primera respuesta del primer post "Es consistente con ZF sin elección que los reales sean la unión contable de conjuntos contables" (y por lo tanto todos los conjuntos son borel, y por lo tanto medibles), sin embargo esto parece contrastar con la respuesta del segundo post que afirma que "la existencia de un conjunto medible no Lebesgue no implica el axioma de elección" (y por lo tanto es posible construir un modelo ZF sin elección donde exista un conjunto medible no Lebesgue). ¿Cómo pueden ser correctas estas dos afirmaciones?

2) No puedo entender por qué el axioma de elección (contable) es necesario para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es contable. Al decir que los conjuntos son contables, ya he asumido la existencia de una biyección de cada conjunto al conjunto de los números naturales, es decir, he indexado los elementos de cada conjunto. Entonces, ¿cuál es el problema de elegir los elementos de cada conjunto? Esto se relaciona con el tema anterior en el sentido de que si la CA no fuera necesaria para demostrar que la unión contable de conjuntos contables es contable, entonces "Es consistente con ZF sin elección que los reales son la unión contable de conjuntos contables" ya no puede ser correcto, ya que esto implicaría que en ZF sin elección los reales son contables.

Sólo soy un estudiante de tercer año de matemáticas sin formación en teoría de conjuntos (sólo ingenua), así que por favor, disculpen la ignorancia. Espero que alguien pueda responderme, ¡gracias!

Answer 1

Para la primera pregunta, consideremos la siguiente afirmación:

$x\in\mathbb R$ y $x\ge 0$ . Es coherente con esta afirmación que:

1. $x=0$ ,
2. $x=1$ ,
3. $x>4301$ ,
4. $x\in (2345235,45237911+\frac{1}{2345235})$

Esta lista puede continuar indefinidamente. Por supuesto, si $x=0$ entonces ninguna de las otras opciones es posible. Sin embargo, si decimos que $x>4301$ entonces la cuarta opción todavía es posible.

Lo mismo ocurre aquí. Si todos los conjuntos son medibles entonces contradice el axioma de elección; sin embargo el hecho de que algún conjunto no sea medible no implica el axioma de elección ya que es posible contradecir el axioma de elección de otras maneras. Es perfectamente posible que el universo de la teoría de conjuntos se comporte "como si tuviera el axioma de elección" hasta algún rango que esté tan por encima de los números reales que todo lo que se pueda pensar sobre los números reales sea como si el axioma de elección se mantuviera; sin embargo en el propio universo grande hay conjuntos que no se pueden ordenar bien. Las cosas no terminan después del continuo.

Dicho esto, por supuesto que las dos afirmaciones " $\mathbb R$ es la unión contable de conjuntos contables y "Hay conjuntos no medibles" son incompatibles: si $\Bbb R$ es una unión contable de conjuntos contables, entonces no hay ninguna forma significativa en la que podamos tener una medida que sea a la vez $\sigma$ -aditivo y da a los intervalos una medida igual a su longitud; mientras que al afirmar que existe un conjunto que no es medible, implícitamente afirmamos que hay una forma significativa de poder medir conjuntos de reales. Sin embargo, este es el significado de es consistente relativamente a ZF . Significa que cada uno de ellos puede existir con el resto de los axiomas de ZF sin añadir contradicciones (ya que para empezar no sabemos que ZF en sí misma esté libre de contradicciones).

En cuanto a la segunda pregunta, por supuesto que cada conjunto es contable y por tanto tiene una biyección con $\mathbb N$ . De ahí que la unión de conjuntos finitamente contables sea también contable.

Sin embargo, para decir que la unión de conjuntos contables es contable hay que fijar una biyección de cada conjunto con $\mathbb N$ . Aquí es exactamente donde entra en juego el axioma de la elección.

Hay modelos en los que una unión contable de pares no sólo no es contable, sino que no tiene ningún subconjunto contable.

Asumiendo el axioma de elección contable podemos hacer lo siguiente:

Dejemos que $\{A_i\mid i\in\mathbb N\}$ sea una familia contable de conjuntos contables disjuntos. Para cada $i$ dejar $F_i$ sea el conjunto de inyecciones de $A_i$ en $\mathbb N$ . Como podemos elegir entre una familia contable, dejemos que $f_i\in F_i$ .

Ahora defina $f\colon\bigcup A_i\to\mathbb N\times\mathbb N$ definido por: $f(a)= f_i(a)$ está bien definida, ya que existe un único $i$ tal que $a\in A_i$ . Por la función de emparejamiento de Cantor sabemos que $\mathbb N\times\mathbb N$ es contable, y así hemos terminado.

Answer 2

Para la pregunta $1$ La afirmación "la existencia de un conjunto medible no Lebesgue no implica el axioma de elección" significa que no podemos demostrar la completo Axioma de elección a partir de la existencia de un conjunto medible no Lebesgue. Del mismo modo, no podemos demostrar el Axioma de Elección completo a partir de la suposición de Elección Contable. Pero no podemos demostrar la Elección Contable en ZF (aquí debería insertar "si ZF es consistente", pero no me molestaré).

Hay muchas afirmaciones que no se pueden demostrar en ZF, se pueden demostrar en ZFC, pero no implican el Axioma de Elección completo, es decir, son estrictamente más débiles que el Axioma de Elección completo. La existencia de un conjunto medible no-Lebesgue es uno de ellos. Así que se puede pensar en un axioma que afirme la existencia de un conjunto no medible como intermedio en fuerza entre no hacer ninguna suposición de "elección" en absoluto, y afirmar el Axioma de elección completo.

Añadido: Lo siguiente Artículo de Wikipedia tiene una buena lista de afirmaciones que son equivalentes al Axioma de Elección, y también una buena lista de afirmaciones que no se pueden demostrar en ZF, se pueden demostrar en ZFC, pero no implican el Axioma de Elección.

Answer 3

(1) La declaración

Es consistente con ZF sin elección que los reales son la unión contable de conjuntos contables

no significa que en ZF sin elección, todos los subconjuntos de $\mathbb R$ debe ser medible. Sólo dice que en ese caso, "todos los conjuntos son medibles" es un posibilidad, posiblemente entre muchas. Por lo tanto, no entra en conflicto con

la existencia de un conjunto medible no Lebesgue no implica el axioma de elección

En conjunto, estas dos afirmaciones sólo significan que en ZF sin elección puede haber conjuntos no medibles, o no haber ningún conjunto no medible. Ambas posibilidades son consistentes.

(2) Si tienes una familia contable de conjuntos contables, todo lo que sabes que para cada en el seno de la familia existe una o más biyecciones entre ese conjunto y los números naturales. Mientras sólo estés mirando uno de ellos, puedes elegir simplemente una de estas biyecciones. Sin embargo, si quieres demostrar que la unión de la familia es contable, tienes que elegir una biyección particular para cada uno de los conjuntos simultáneamente y para ello se necesita una elección (contable).

Answer 4

Sobre la elección contable y las uniones contables de conjuntos contables. Sea $ C$ sea una familia contablemente infinita de conjuntos contables. Entonces existe una biyección $F$ con dominio $\Bbb N$ tal que $C=\{f(n):n\in \Bbb N\}$ y que para cada $n\in \Bbb N$ el conjunto $G(n)$ de inyecciones de $f(n)$ en $\Bbb N$ no está vacío.

El problema de "elegir" elementos de $\cup C$ es que en general $G(n)$ tiene más de un miembro, y necesitamos una forma de especificar una secuencia infinita $(g_n)_{n\in \Bbb N}$ donde cada $g_n\in G(n).$

Con Countable Choice podemos afirmar que existe una función $H:\Bbb N\to \cup_{n\in \Bbb N}G(n)$ tal que $H(n)\in G(n)$ para cada $n\in \Bbb N.$ Para cualquier $H$ la secuencia $(H(n))_{n\in \Bbb N}=(g_n)_{n\in \Bbb N}$ existe y podemos usarlo para hacer selecciones de $\cup C.$ Pero sin la elección contable estamos atascados.

Una violación muy contraintuitiva de la Elección Contable, que sigue siendo coherente con $ZF,$ es que hay un infinito contable $C$ donde cada miembro de $C$ tiene exactamente $2$ miembros, y ningún subconjunto infinito de $\cup C$ puede estar bien ordenado, y por lo tanto $\cup C$ y $\Bbb N$ son cardinalmente no comparables.

Un conjunto $\cup C$ que no puede ser bien ordenado, donde $C$ es una familia contable de $2$ -membresía de conjuntos, se llama conjunto de medias, o conjunto de medias de Russell. Bertrand Russell dijo: "El axioma de elección es necesario para los calcetines pero no para los zapatos". Para los pares de zapatos emparejados podemos definir una secuencia $(g_n)_n$ : Dejemos que $g_n(P)$ sea el zapato izquierdo del par $P. $