Utilizando la desigualdad BDG para demostrar que un proceso es uniformemente integrable

Question

Para un BSDE :

$$y_t = \xi + \int_{t}^{T}g_0(s)ds - \int_{t}^{T}z_sdB_s$$

Que tiene un fijo $\xi \in L^2(\mathscr{F}_T)$ y $g_0(\cdot)$ satisfaciendo $E(\int_{0}^{T}|g_0(t)|dt)^2 < \infty$ . Existe un único par de procesos $(y., z.)\in L_{\mathscr{F}}^2(0,T;R^{1+d})$ satisface la BSDE mostrada anteriormente.

¿Cómo utilizar la desigualdad Burkholder-Davis-Gundy (BDG) para demostrar la siguiente desigualdad?

$$E[\sup_{0 \leq t \leq T} |y_t|^2]< \infty$$

Answer 1

Supongamos que $g=0$ . La variación cuadrática de $y$ está dada por: $$\langle y\rangle_t = \int_t^T z_s^2 ds \leq \int_0^T z_s^2 ds $$ La desigualdad de la BDG te dice que, para algunos $C>0$ tenemos: $$\mathbb{E} \left[ \sup_{0 \leq t \leq T}|y_t|^2 \right] \leq C \mathbb{E} \left[ \langle y\rangle_0 \right] \leq C \mathbb{E} \left[ \int_0^T z_s^2 ds \right] < \infty$$ donde la última desigualdad se desprende de la suposición impuesta a $z$ .

Si $g \neq 0$ entonces una aplicación de la desigualdad del triángulo más las condiciones sobre $g$ y $\xi$ garantizan el mismo resultado.

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Alternativamente, se podría utilizar la desigualdad máxima de Doob para obtener: $$\mathbb{E} \left[ \sup_{0 \leq t \leq T}|y_t|^2 \right] \leq 4\mathbb{E}(|Y_T|^2) = 4\mathbb{E}({\xi^2}) < \infty$$