Anillos cuyos elementos están repartidos entre unidades y divisores de cero.

Question

En $\mathbb{Z}_n$ los elementos están totalmente repartidos entre las unidades y los divisores de cero. Creo que este es el caso, ¿estoy en lo cierto?

Ahora bien, ¿entiendo que esto no es cierto en general, que puede haber anillos con elementos que no son ni unidades ni divisores de cero?

Answer 1

Tienes razón en este caso, y más generalmente elementos en Anillos artinianos son unidades o son divisores de cero. No es difícil de demostrar: básicamente se puede mostrar que si $x$ no es un divisor cero, entonces la cadena $xR\supseteq x^2R\supseteq\dots$ tiene que estabilizarse, por lo que habrá un $r$ tal que $x^n=x^{n+1}r$ . Reescribiendo eso, se obtiene $x^n(xr-1)=0$ . Si $x$ no es un divisor cero, entonces el $x^n$ puede anularse, lo que da lugar a $xr=1$ para que $x$ es una unidad.

Cualquier conmutador dominio que no es un campo tiene MUCHAS no unidades que no son divisores de cero. Así, por ejemplo $\Bbb Z$ tiene dos unidades $\{\pm1\}$ , cero, y el resto de los elementos no son divisores de cero.

Answer 2

Anillo $\mathbb{Z}$ tiene dos unidades ( $-1$ y $1$ ) y sin divisores cero.

Así que en realidad cada elemento $n$ en ella con $n\notin\left\{ -1,1\right\} $ no es ni una unidad ni un divisor de cero.

Answer 3

Un ejemplo es el anillo $\Bbb R[[X]]$ de serie de potencia formal en $\Bbb R$ : no tiene divisores cero, sino un elemento $\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ es invertible si y sólo si $a_0\ne 0$ . Así, toda serie de potencias no nulas de la forma $\sum_{n\ge 1}a_nX^n$ no es ni una unidad ni un divisor cero.