¿Puede alguien explicar la lógica de este paso en un problema de inducción

Question

Hay una pregunta en el libro que no entiendo muy bien.

Pregunta Demostrar que $n^2$ es menor que $2^n$ siempre que $n\ge5$ .

En el $k+1$ paso se vuelve muy loco y confuso.

$k+1$ paso
$$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > k^2 + k^2 > \mathbf{k^2 + 4k > k^2+2k+1}$$

¿Puede alguien explicarme de dónde sacó el libro mágicamente $4n$ porque me parece que han sustituido uno de los $k^2$ por $4k$ pero no tengo ni idea de por qué lo han hecho y de dónde ha salido ese número $4k$ vino de.

Answer 1

Si se omite el $4n$ -paso, sólo tienes que ver que $$k^2 > 2k+1 \qquad\forall\ k>5$$ Esto es bastante sencillo de ver ya que $2k+1 < 3k < k\cdot k = k^2$
Se me ocurre que eso $4n$ debía decir $4k$ que está bien y funciona tan bien como el $3k$ -termino lo hace en mi alternativa.