Convergencia uniforme de $f_n(x) = \cos^n(x/ \sqrt{n})$ .

Question

Estoy estudiando la convergencia uniforme de la siguiente secuencia :

\begin{equation*} f_n(x) = \left\{ $$\begin{split} & \ \cos^n\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) \ \ \textrm{if} \ x \in \left[0, \frac{\sqrt{n} \pi}{2} \right] \\ & 0 \ \ \textrm{if} \ x \geq \frac{\sqrt{n} \pi}{2} \end{split}$$ \derecho. \Fin.

a $f : x \longmapsto e^{-x^2/2}$ .

He calculado esto para ver que converge uniformemente pero no llego a una prueba. He intentado estudiar la diferencia $f - f_n$ analíticamente pero no funciona.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Generalmente es cierto que para una secuencia de funciones positivas decrecientes $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ en $[0,\infty)$ convergencia puntual a una función continua $f$ que tiende a $0$ como $x\to \infty$ implica una convergencia uniforme.

Para ver esto, observe que $f$ es uniformemente continua. Por lo tanto, dejemos que $\varepsilon>0$ se le da y se escoge $K>0$ tal que $f(x)\leq \frac{\varepsilon}{3}$ para todos $x\geq K$ y elegir $\delta>0$ parrying $\frac{\varepsilon}{3}$ para la continuidad uniforme de $f$ . A partir de entonces $0=t_0<t_1<t_2<...<t_J$ tal que $t_J\geq K,$ y $t_{j+1}-t_j<\delta$ por cada $j$ .

Ahora, elige $N\in \mathbb{N}$ lo suficientemente grande como para que $|f_n(t_j)-f(t_j)|\leq \frac{\varepsilon}{3}$ por cada $j$ .

Entonces, para el general $x\in (t_j,t_{j+1}),$ nota que

$$f_n(t_{j+1})-f(t_j) \leq f_n(x)-f(x)\leq f_n(t_j)-f(t_{j+1})$$ lo que implica que $|f_n(x)-f(x)|\leq \frac{2\varepsilon}{3}$ .

Del mismo modo, para $x>K,$ tenemos $0\leq f_n(x)\leq f_n(t_J)\leq \frac{2\varepsilon}{3}$ .

Esto muestra una convergencia uniforme.

Answer 2

Demasiado largo para los comentarios.

Como la composición de series Taylor es una de mis aficiones, continuando con su trabajo, tenemos $$\cos^n\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)=e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-\frac{x^4}{12 n}+\frac{x^6 \left(5 x^2-32\right)}{1440 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)$$ También tenemos el "bonito" $$\text{sinc}^n\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)=e^{-\frac{x^2}{6}}\left(1-\frac{x^4}{180 n}+\frac{x^6 \left(7 x^2-160\right)}{453600 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)$$ $$\text{tanc}^n\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right)=e^{+\frac{x^2}{3}}\left(1+\frac{7 x^4}{90 n}+\frac{x^6 \left(343 x^2+2480\right)}{113400 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)$$