¿Cuál es el último dígito no nulo al final de 10!?

Question

¿Cuál es el último dígito distinto de cero al final de $10!$ ? ¿Cuál es el último dígito distinto de cero al final de $100!$ ? ¿Cuál es el último dígito distinto de cero al final de $1,000,000!$ ?

¿Existe una fórmula para averiguar el patrón?

Answer 1

Lo demostraré con $100!$ . No se trata tanto de una fórmula como de un algoritmo que funciona en $\operatorname{O}(\log(n))$ tiempo para $n!$ .

Dejemos que $n!!$ denotan el producto de todos los impar enteros positivos menores o iguales a $n$ . Sea $n\tilde{!!}$ denota el producto de todos los enteros positivos Impares menores o iguales a $n$ que son no divisible por $5$ .

La idea es extraer todos los poderes de $5$ y $2$ de 1000!, y escribirlo como $10^A2^BC$ con $C$ impar y no un múltiplo de $5$ . Entonces $A$ es el número de ceros finales. Y lo que $2^BC$ es el módulo $10$ es la cifra anterior. Para ello, son útiles estas dos fórmulas de reducción (que debes verificar): $$\begin{align} n! & = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor! \times n!! \times 2^{ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\\ n!! & = \left(2\left\lfloor\frac{n+5}{10}\right\rfloor-1\right)!! \times n\tilde{!!} \times 5^{\left\lfloor\frac{n+5}{10}\right\rfloor}\hspace{2pc}n\geq5 \end{align}$$ El primero de ellos es algo que quizá haya visto antes. La segunda es el resultado de intentar encontrar una fórmula similar que excluya los múltiplos de $5$ . Un número de la forma $n\tilde{!!}$ es par y no divisible por $5$ y sólo es importante para nosotros mod $10$ y su regla de reducción es $$n\tilde{!!}\equiv (1\times3\times7\times9)^{\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor}\times\epsilon\equiv 9^{\left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor}\times\epsilon$$ donde $\epsilon$ es $1$ , $1(3)\equiv3$ , $1(3)(7)\equiv1$ o $1(3)(7)(9)\equiv9$ en función de $n$ . Tenemos:

$$\begin{align} 100! &\equiv 50!\times100!!\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times19!!\times100\tilde{!!}\times5^{10}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times19!!\times9^{10}\times5^{10}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times19!!\times5^{10}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times3!!\times19\tilde{!!}\times5^2\times5^{10}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times3!!\times9^{1}(1)(3)(7)(9)\times5^2\times5^{10}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times3(1)\times1\times5^{12}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 50!\times3\times5^{12}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 25!\times50!!\times2^{25}\times3\times5^{12}\times2^{50}\\ 100! &\equiv 25!\times50!!\times3\times5^{12}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 25!\times9!!\times50\tilde{!!}\times5^5\times3\times5^{12}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 25!\times9!!\times9^5\times5^5\times3\times5^{12}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 25!\times1(3)(5)(7)(9)\times9\times3\times5^{17}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 25!\times3\times5^{18}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 12!\times25!!\times2^{12}\times3\times5^{18}\times2^{75}\\ 100! &\equiv 12!\times25!!\times3\times5^{18}\times2^{87}\\ 100! &\equiv 12!\times5!!\times25\tilde{!!}\times5^3\times3\times5^{18}\times2^{87}\\ 100! &\equiv 12!\times1(3)(5)\times9^2(1)(3)\times3\times5^{21}\times2^{87}\\ 100! &\equiv 12!\times7\times5^{22}\times2^{87}\\ 100! &\equiv 1(2)(3)(4)(5)(2\cdot3)(7)(8)(9)(2\cdot5)(11)(4\cdot3)\times7\times5^{22}\times2^{87}\\ 100! &\equiv (3)(5)(3)(7)(9)(5)(11)(3)\times7\times5^{22}\times2^{97}\\ 100! &\equiv (3)(3)(7)(9)(11)(3)\times7\times5^{24}\times2^{97}\\ 100! &\equiv 7\times5^{24}\times2^{97}\\ 100! &\equiv 10^{24}\times7\times2^{73}\\ 100! &\equiv 10^{24}\times7\times2^{5\cdot14+3}\\ 100! &\equiv 10^{24}\times7\times2^{14}\times2^3\\ 100! &\equiv 10^{24}\times6\times2^{14}\\ 100! &\equiv 10^{24}\times6\times2^{5\cdot2+4}\\ 100! &\equiv 10^{24}\times6\times2^{2}\times2^4\\ 100! &\equiv 10^{24}\times6\times4\times6\\ 100! &\equiv 10^{24}\times4\times6\\ 100! &\equiv 10^{24}\times4\\ \end{align}$$

Por lo tanto, hay 24 ceros, y el dígito anterior es un 4. Esto coincide con un cálculo impreso en los comentarios.

Answer 2

Para $10!$ :

El último dígito distinto de cero se forma como el producto de los dígitos en los lugares de la unidad (nótese que $2\cdot 5$ tiene que quedar fuera): $$3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \equiv 8 \mbox{ mod } 10 \rightarrow \mbox{last non-zero digit: }8$$

Para $100!$ :

Aquí el último dígito distinto de cero está formado por $10$ bloques de $(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)$ :

$$(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)^{10} \equiv 8^{10} \equiv 4 \mbox{ mod } 10 \rightarrow \mbox{last non-zero digit: }4$$

Para $1000000!$ :

Aquí tienes $10^5$ Bloques de últimos dígitos $(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)$ :

$$(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)^{10^5} \equiv 8^{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 } \equiv 4^{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \equiv \ldots \equiv 6 \mbox{ mod } 10 \rightarrow \mbox{last non-zero digit: }6$$